A323. Les nombres prolifiques
Un nombre réel qui est égal à la somme des racines carrées de deux entiers consécutifs est appelé, par convention, nombre prolifique. Ainsi est prolifique.
Démontrer que élevé à n'importe quelle puissance entière positive donne toujours un nombre prolifique.
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Posons .
Montrons par récurrence sur que :
- où et polynômes en tels que si impair.
- où et polynômes en tels que si pair.
La propriété est vraie aux rangs 0 et 1. Supposons la propriété vraie au rang . - Si est impair :
- Si est pair :
La propriété est alors vraie au rang .
élevé à n'importe quelle puissance entière positive donne toujours un nombre prolifique.
