A 323 – Les nombres prolifiques
Cette solution est proposée par le jeune Alami Mohamed Saâd (AMS) .
Nous allons tout d’abord commencer par démontrer qu’un nombre prolifique au carré est un nombre prolifique.
N = √a + √(a+1) ( N est prolifique) Prouvons que ( √a + √(a+1) )² est un nombre prolifique.
( √a + √(a+1) )² = a + a + 1 + 2√(a(a+1)) = 2a + 1 + √(4a² + 4a) = √((2a + 1)²) + √(4a² + 4a) ( √a + √(a+1) )² = √(4a² + 4a +1) + √(4a² + 4a) On pose A = 4a² + 4a
On obtient donc : N² = ( √a + √(a+1) )² = √(A +1) + √(A) . (1) ( √a + √(a+1) )² est donc prolifique.
De (1) on déduit que :
Tout nombre prolifique élevé d’une puissance paire est prolifique ( ^(2n) = N^(2^(2^(2…. n fois))) ) . (1’) A est multiple de a, ( car A = a(4a + 4) dans le cas de N² , et A’= A(4A + 4) pour (N²)² et plus généralement A(n) = A(n-1) (4(n-1)+4) pour N2n.
Ainsi A(n) est multiple de a car A(n-1) est multiple de A(n-1) qui lui-même multiple de A(n-2) …..A1 qui est multiple de a .
Attention : Ci-dessus (n) et (n-1) …( entre parenthèses ne désignent pas des puissances).
Donc, plus généralement :
N2n = √(ka) + √(ka+1) ( k un entier naturel )
Ainsi pour démontrer que tout nombre élevé d’une puissance impaire est prolifique, il faut prouver que ( √a + √(a+1) )( √(ka) + √(ka+1)) est prolifique .
( √a + √(a+1) )( √(ka) + √(ka+1) )
= √ka² + √(ka² +a) + √(ka² + ka) + √(ka² + a + ka + 1)
= √ ( √ka² + √(ka² + a + ka + 1) )² + √( √ (ka² +a ) + √(ka² + ka) )²
= √(ka² + ka² + a + ka + 1 + 2√(k²a4 + ka3 + k²a3 + ka² )) + √(ka² + a + ka² + ka + 2√(k²a4 + k²a3 + ka3 + ka²)
= √(2 ka² + a + ka + 1 + 2√(k²a4 + ka3 + k²a3 + ka² )) + √(2ka² + a + ka + 2√(k²a4 + k²a3 + ka3 + ka²)
On pose C = 2ka² + a + ka + 2√(k²a4 + k²a3 + ka3 + ka²)
Donc :N^(2n+1) = ( √a + √(a+1) )( √(ka) + √(ka+1) ) = √C + √(C+1) (2) De (1’) et (2), on déduit qu’un nombre prolifique élevé d’une puissance paire ou impaire donne toujours un nombre prolifique.
