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A323 : Les nombres prolifiques

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Academic year: 2022

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A323 : Les nombres prolifiques

Un nombre réel qui est égal à la somme des racines carrées de deux entiers consécutifs est appelé, par convention, nombre prolifique. Ainsi N = + est un nombre prolifique.

Démontrer que N élevé à n’importe quelle puissance entière positive donne toujours un nombre prolifique.

Soit a entier, N=√a +√(a+1), et posons √a=sh x ou a=sh2 x, donc √(a+1)=ch x, et N=ex . Donc Nk=ekx =sh(kx)+ch(kx), ce qui est bien de la forme √b +√(b+1), sous réserve de montrer que b est entier.

Or sh(kx) est un polynôme entier en shx; b=sh2(kx) est polynôme entier pair en shx, donc un polynôme entier en sh2x=a , donc un entier.

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