A323. Les nombres prolifiques

A323. Les nombres prolifiques

SoitN =√ k+√

k+ 1 un nombre prolifique oùkest un nombre entier. Montrons par récurrence queNⁿ est également un nombre prolifique. Plus précisément, nous allons montrer queN²ⁿ =α_2n+β_2np

k(k+ 1) oùα²_2n=β_2n² k(k+ 1) + 1 etN²ⁿ⁺¹=α_2n+1√

k+β_2n+1√

k+ 1 oùα²_2n+1k+ 1 =β_2n+1² (k+ 1),les suites (αn) et (βn) étant des polynômes à coefficients entiers dek.

Pourn= 1,c’est trivial puisqueα1=β1= 1.Pourn= 2,nous avonsα2= 2k+1 etβ2= 2 et nous vérifions queα₂²=β²₂k(k+ 1) + 1.

Supposons le résultat montré jusqu’àn>2.

Si n+ 1 = 2m+ 1, alors α2m+1 = α2m + (k+ 1)β2m et β2m+1 = α2m + kβ2m et nous vérifions que α_2m+1² k+ 1 = β_2m+1² (k+ 1) découlant de α²_2m = β_2m² k(k+ 1) + 1.

Sin+ 1 = 2m+ 2,alorsα2m+2=kα2m+1+ (k+ 1)β2m+1etβ2m+2=α2m+1+ β2m+1et nous vérifions queα²_2m+2=β_2m+2² k(k+ 1) + 1 découlant deα²_2m+1k+ 1 =β²_2m+1(k+ 1).

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