A20194. Obscur comme Bourbaki
Une suite de nombres est définie par la récurrence un+1 = unun−1+ 1
un−2
Si les 3 premiers termes sont des entiers, à quelle condition y a-t-il des termes non entiers dans la suite ?
Solution
On prétend qu’au chapitre 1 du traité de Bourbaki, une note indique “la signification du symbole 1 sera définie au chapitre 3”. Oublions donc la si- gnification du 1 de la récurrence et écrivons, en faisantn=mpuisn=m+1 1 =um+1um−2−umum−1=um+2um−1−um+1um.
Cela se réarrange enum+1(um+um−2) =um−1(um+um+2).
Posons un+1 +un−1 = unvn. La condition ci-dessus donne vm+1 = vm−1
doncvn ne dépend que de la parité denetvnvn+1 est une constante.
un+2+ 2un+un−2= (un+1+un−1)vn+1 =unvnvn+1=unv2v3.
La sous-suite des termes de rang pair, comme la sous-suite des termes de rang impair, obéissent à une récurrence
un+2= (v2v3−2)un−un−2, qui se résout classiquement avec les polynômes de TchebychevTk(vZv3/2−1).
Le 1 de l’énoncé retrouve son rôle pour déterminer u4 = (u3u2 + 1)/u1, v2= (u3+u1)/u2,v3= (u4+u2)/u3 = (u3u2+u2u1+ 1)/(u1u3)
Il y aura des termes non entiers si et seulement siv2v3 n’est pas entier, c’est à dire si (u1+u3)(u1u2+u2u3+ 1) n’est pas multiple de u1u2u3.
