G134 – L'abeille butineuse [*** à la main et avec l'aide éventuelle d'un automate]
Cette abeille ouvrière placée à l'origine O décide de butiner de le long de l'axe x'Ox. Elle effectue des déplacements successifs de longueurs égales à 3 centimètres, 5 centimètres, 9 centimètres,17
centimètres,... et de manière générale 2k + 1 centimètres lors du k-ième déplacement.
Avant chacun d'eux elle choisit avec la même probabilité 1/2 le sens des x positifs ou bien le sens des x négatifs.
Q1 En supposant que cette abeille est immortelle, démontrer qu'elle peut atteindre n'importe quel point d'abscisse entière, positive, négative ou nulle de l'axe x'Ox après être passée éventuellement plusieurs fois par un ou plusieurs points. Déterminer le nombre minimum de déplacements qui lui permet d'atteindre le point d'abscisse = + 12 centimètres.
Q2 En supposant que le plus grand des déplacements successifs n'excède pas 25 mètres, déterminer : - les probabilités respectives pour que l'abeille atteigne le point d'abscisse 2016 centimètres, le point d'abscisse 2015 centimètres, le point d'abscisse 2017 centimètres.
- le point d'abscisse entière positive le plus proche de l'origine que l'abeille ne peut pas atteindre, - le nombre de points d'abscisses entières strictement positives que l'abeille est susceptible d'atteindre.
Solution de Paul Voyer Q1
(21+1)+(2²+1)+(2³+1)+…+(2n+3+1)-(2n+4+1) vaut n. On peut obtenir tout entier.
12 sera atteint au bout de 8 déplacements (au minimum).
12 3 5 -9 -17 -33 -65 -129 257
Q2
Les longueurs des 11 déplacements successifs sont : 3, 5, 9,17, 33, 65, 129, 257, 513, 1025, 2049 cm.
Les 11 choix de sens déterminent au plus : 2 + 4 + 8 + …+ 2048 = 4094 destinations possibles.
Le point 2016 sera atteint en un nombre pair de déplacements, soit 10,et 2015 en un nombre impair, soit 11.
En effet:
2016 = 2056 - 40 affectés du signe - : 20 =3+17
2016 = -3+5+9 - 17+33 + 65 +129 +257+ 513+1025 avec probabilité 1/2¹⁰ = 1/1024 2015 = 4105 - 2090 affectés du signe - : 1045 = 1025+3+17
2015 = -3+5+9 -17+33 +65 +129 +257+513 -1025 +2049 avec probabilité 1/2¹¹ = 1/2048 Avec EXCEL :
2015 -3 5 9 -17 33 65 129 257 513 -1025 2049
2016 -3 5 9 -17 33 65 129 257 513 1025
A l'inverse 2017 ne peut pas être atteint:
2017 = 4105-2088 affectés du signe - : 1044 = 1025+19 probabilité car on ne sait pas faire 19 avec des + à inverser.
Point >0 le plus proche non atteignable : 138 . (EXCEL)
Nombre de points atteignables d'abscisse positive 1715 . (EXCEL)
