Mathématiques
Devoir maison n°3
1èreS4
À rendre le 15 octobre 2015
Exercice 1 Foyer et directrice
−1 −0.5 0 0.5 1
−0.5 0 0.5 1
F
a
M
H
P
(d) a
Dans un repère orthonormé (O; I,J) on consi- dère :
– la paraboleP d’équationy=x2; – la droite (d) d’équationy=−1
4; – le point F
0 ; 1
4
.
Soit M un point quelconque deP d’abscisse aet H son projeté orthogonal sur la droite (d).
1. a) Réaliser une figure sous GeoGebra où le point M peut être déplacé à l’aide d’un curseura.
b) Quelle conjecture peut-on faire concer- nant les segments [MF] et [MH] ? c) Démontrer cette conjecture.
2. La droite (MF) recoupe la parabole au point N.
Justifier que N a pour coordonnées
−1 4a; 1
16a2
.
3. On note (TM) la tangente en M à P et (TN) la tangente en N àP.
On admet que (TM) a pour équation : y= 2ax−a2
et que (TN) a pour équation : y=− 1
2ax− 1 16a2
a) Construire le point N et les deux tan- gentes (joindre une copie d’écran).
b) Quelle conjecture peut-on faire concer- nant les tangentes (TM) et (TN) ? c) Quelle conjecture peut-on faire concer-
nant la position du point d’intersec- tion P de ces tangentes ?
d) Vérifier ces conjectures. On pourra no- tamment vérifier pour cela que le point P
4a2−1 8a ;−1
4
appartient à (TM) et (TN).
On admet que deux droites sont perpendicu- laires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à -1.
Exercice 2 Être ou ne pas être alignés ? Dans un repère orthonormé (O; I,J), on consi- dère les points A (−2 ; 2), B (5 ; 6) et C (4 ;−1).
1. Placer les points A, B, C dans le repère.
2. Soit le point M tel que :
−→
MC= 1 3
−→
AC
Placer M puis calculer ses coordonnées.
3. Soit D le point tel que ABCD soit un pa- rallélogramme. Placer D puis calculer ses coordonnées.
4. Placer E au milieu de [CD] puis calculer ses coordonnées.
Les points E, M, B sont-ils alignés ? Justi- fier.
5. Placer F milieu de [AB].
Les droites (DF) et (BE) sont-elles paral- lèles ? Justifier.
6. Soit le point N tel que :
−→
FN= 3
−→
FM
Placer N. Démontrer que B, C, N sont ali- gnés.
Exercice 3 Le coin du technicien Résoudre dansRles équations suivantes :
√24x2−4x−7 = 3x−1 et (4x2−9)2= 49
Bonus !
Répondez à l’énigme de la quinzaine sur :
http://rallymaths.free.fr/
