DM1 1/2 Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle
Corrigé du DM1
Par conjecture, il semble que parmi tous les triangles isocèles en A de périmètre 15, celui qui a une aire maximale soit le triangle équilatéral.
Démontrons cette conjecture.
On considère un triangle A B C isocèle en a de périmètre 15, on pose B C=x et A(x) l’aire du triangle A B C.
De quel intervalle x peut il prendre ses valeurs ?
• x est la longueur du segment [B C] donc xÃ0.
• A B C est isocèle en A donc A B=A C=15−x
2 . Or d’après l’inégalité triangulaire B CÂA B+A C càd xÂ2A B. x doit donc vérifier xÂ15−x càd 2xÂ15 càd x<15
2
• Ainsi l’intervalle des valeurs possibles de x est [0;7,5].
Remarque : on peut exclure ou non les bornes qui correspondent aux cas du triangle aplati.
Soit H le milieu de [B C]. Exprimons A H en fonction de x et montrons que A(x)=x
4 225−30x.
Le triangle A B C est isocèle en A et h est le milieu de [B C] donc la médiane (A H) est aussi hauteur donc le triangle A B H est rectangle en H donc d’après le théorème de Pythagore, on déduit que A B2=A H2+B H2
Donc A H2=A B2−B H2=
15−x 2
2−
x 2
2 =225−30x+x2−x2
4 =225−30x
4 d’où A H= 225−30x 2 L’aire du triangle A B C est alors A(x)=A H×B C
2 Càd A(x)=1
2×x× 225−30x
2 = x
4 225−30x
Résolvons alors le problème posé.
L’aire du triangle est maximale lorsque A atteint son maximum.
Etudions donc les variations de la fonction A définie sur
0;15
2 par A(x)=x
4 225−30x
┐x☻
0;15
2 , 225−30x>0 donc A est dérivable sur
0;15
2 . Posons u et v les fonctions définies sur
0;15
2 par u(x)=x
4 et v(x)= 225−30x alors u′(x)=1
4 et v′(x)= -30 2 225−30x
=- 15
225−30x . A=u×v donc A′=u′v+u v′
Donc ┐x☻
0;15
2 , A′(x)=1
4× 225−30x−x
4× 15
225−30x
=1
4×225−30x−15x 225−30x
=1
4× 225−45x 225−30x
DM1 2/2
┐x☻
0;15
2 , 225−30x>0 donc A′(x) est du signe de 225−45x Or, 225−45x>0ñx<5 et 225−45x<0ñx>5
Ainsi
AA′(′(5)=0x)>0ñ0Â5<5A′(x)<0ñ5<x<15 2 D’où le tableau de variation de A
x 0 5 15
2
signe de A′(x) + −
A
5 4 75
0 0
D’après le tableau de variation de A, on déduit que l’aire est maximale lorsque x=5.
Dans ce cas, A B=15−5
2 =5 càd A B=A C=B C=5 donc le triangle A B C est équilatéral .
