Épreuve pratique de mathématiques sujet 026
2006/2007Barycentre
Inspiré du sujet 026
Exercice 1
Soit A,B et C trois points du plan non alignés. Pour tout réel k de l’intervalle [−1; 1] on considère Gk le barycentre des points pondérés(A; 1−k),(B;k
2), et(C;k 2).
1. Justifier l’existence de Gk pour toutk∈[−1; 1].
2. Réaliser la figure à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique.
3. Conjecturer le lieu décrit parGk quand kdécrit[−1; 1].
4. Démontrer la conjecture énoncée.
Correction
1. On calcule1−k+k 2 +k
2 = 1 puisque la somme des coefficients est différente de 0, le barycentreGk des points pondérés(A; 1−k), (B;k
2)existe.
2. À l’aide du logiciel libre Geogebra (http://www.geogebra.at),
on réalise la figure demandéehttp://akbida.free.fr/ressources/epreuve_pratique/sujet026.html.
• Créer un curseur c’est-à-dire un nombre que l’on fera varier de−1 à1;
• on renomme le nombreaenk;
• on construit les troisA,B et C;
• pour construire le barycentreGk on utilise la relation vectorielle−→
AG= k 2
−−→ AB+k
2
−→AC :
? on crée−→u et−→v les vecteurs−−→ ABet −→
AC pour cela on utilise l’outilVecteur défini par deux points
? on saisit dans la barre de commande w=k/2*(u+v) ce qui correspond à −→w = k
2(→−u +−→v);
? on construit l’image de A par la translation de vecteur −→w on utilise l’outil Translation (Objet- vecteur);
? on renomme le point obtenuG.
3. Pour conjecturer le lieu décrit parGk quandkdécrit [−1; 1], on active la trace du pointG(clic droit sur GpuisTrace activée).
On poseI le milieu du segment[BC]etI0 le symétrique deI par rapport àA. Le lieu décrit parGk est le segment[I I0].
4. On sait que
−→AG= k 2
−−→ AB+k
2
−→AC
−→AG= k 2(−−→
AB+−→
AC)
−→AG= k 2(−→
AI+−→ I B+−→
AI+−→ I C)
−→AG= k 2(2−→
AI+−→ I B+−→
I C)
−→AG= k 2(2−→
AI)
−→AG=k−→ AI On a −→
AG=k−→
AI etkvarie de−1 à1donc le barycentre Gk décrit le segment[I I0].
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