Epreuve pratique de mathématiques sujet 013

Epreuve pratique de mathématiques sujet 013

Orthocentre

Inspiré du sujet 013

Exercice 1

Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O;−→ i ,−→

j), on considère les points A(−2; 0), B(2; 0)et la droite∆ d’équationy=−5.

SoitCun point de ∆, etH l’orthocentre du triangleABC.

1. Construire la figure à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique.

2. Visualiser le lieu que décritH lorsqueC décrit la droite∆. 3. Caractériser le lieu obtenu.

Correction

1. En utilisant le logiciel libre Geogebra (http://www.geogebra.at), on réalise simplement la figure deman- déehttp://akbida.free.fr/ressources/epreuve_pratique/sujet013.html

2. Pour visualiser le lieu il y a deux méthodes :

(a) à l’aide d’un clic droit sur le pointH puis sélectionnerTrace activée, il ne reste plus qu’à déplacer le pointC sur la droite∆;

(b) sélectionner la fonction Lieu, cliquer surH puis surC, le lieu s’affiche.

A B

C H

∆ P

3. Le lieu que décrit H lorsqueC décrit ∆est la paraboleP d’équation y= 1

5(x²−4).

Démonstration :

On a C(x;−5)avecxun réel, la droite∆ est parallèle à(AB)l’axe des abscisses.

Les pointsH etC ont donc les mêmes abscisses, d’oùH(x;y).

On sait queH est l’orthocentre du triangleABC donc(AH)⊥(BC) ⇔ −−→ AH.−−→

BC= 0 or −−→

AH(x+ 2;y)et−−→

BC(x−2;−5)

−−→ AH.−−→

BC= 0

(x+ 2)(x−2)−5y= 0 y=1

5(x²−4)

SiH est l’orthocentre du triangleABC alorsH appartient à la parabole d’équationP : y= 1

5(x²−4).

typeset by L^ATEX

Epreuve pratique de mathématiques sujet 013

Réciproquement :

soit H(x;y)un point deP : y=1

5(x²−4), etCle projeté orthogonal de H sur∆ on aC(x;−5) . On a −−→

AH(x+ 2;y),−−→

BH(x−2;y),−−→

BC(x−2;−5) et−→

AC(x+ 2;−5)

−−→ AH.−−→

BC= (x+ 2)(x−2)−5y et −−→ BH.−→

AC= (x−2)(x+ 2)−5y

−−→ AH.−−→

BC= 0 et −−→

BH.−→

AC= 0

donc que(AH)⊥(BC)et(BH)⊥(AC), le pointH appartient à deux hauteurs du triangleABCc’est donc l’orthocentre.

Si H(x, y)appartient à la parabole d’équationP alorsH est l’orthocentre du triangleABC avecC(x; 5)∈∆

typeset by L^ATEX