Forme trigonométrique des nombres complexes

Forme trigonométrique des nombres complexes

Argument d’un nombre complexe non nul

−→u

−→v

b

M(z)

arg(z) O

•Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct(O,−→ u ,−→

v).

zest un complexe non nul d’image ponctuelle notéeM.

On appelle argument deztoute mesure en radian de l’angle orienté

−

→u ,−−→

OM

. arg(z) =

−→ u ,−−→

OM (2π).

•Si θ0est un argument dez, l’ensemble des arguments de zest l’ensemble des réels de la formeθ0+2kπ,k∈Z.

Détermination d’un argument.Sizest un complexe non nul, un argument dezest également un argument de z

|z|. Le

nombre complexe z

|z| est de module1 et il existe un réelθ tel que z

|z| =cos(θ) +isin(θ). θest un argument dez.

Exemple. arg(−√

3+i) =arg −

√3 2 +1

2i

!

=arg

cos 5π

6

+isin 5π

6

= 5π 6 (2π).

La notation e

Le calcul(cos(θ) +isin(θ))(cos(θ^′) +isin(θ^′)) =. . .=cos(θ+θ^′) +isin(θ+θ^′)invite à poser pour tout réelθ,e^iθ=cos(θ) +isin(θ).

Formulaire.

Pour tous réelsθet θ^′,

• |e^iθ|=1.

• Re(e^iθ) =cos(θ), Im(e^iθ) =sin(θ). Pour tous nombres complexes non nulszet z^′,

• e^iθ×e^iθ′ =e^i(θ+θ′). •arg(zz^′) =arg(z) +arg(z^′) (2π).

• 1

e^iθ =e^−iθ=e^iθ. •arg

1 z

=arg(z) = −arg(z) (2π).

• e^iθ

e^iθ′ =e^{i(θ−θ′)}. •argz z^′

=arg(z) −arg(z^′) (2π).

• Pour tout entier relatifn, e^iθn

=e^inθ. •Pour tout entier relatif n, arg(zⁿ) =n.arg(z) (2π).

Forme trigonométrique (ou forme exponentielle) des nombres complexes

Tout nombre complexe non nul zs’écrit sous la forme z= re^iθ oùr est un réel strictement positif et θ est un réel.

Cette écriture est unique en ce sens que :

Pour tous réels strictement positifsr etr^′ et tous réelsθet θ^′, re^iθ=r^′e^iθ′ ⇔r=r^′ ete^iθ=e^iθ′.

Sizest un complexe non nul, l’écriturez=re^iθ s’appellela forme trigonométrique (ou la forme exponentielle) dez.

Forme trigonométrique d’un complexe non nulz:z=re^iθoùr est le module dezet θest un argument dez.

Le réelθlui n’est pas unique :

Pour tous réels strictement positifsr etr^′ et tous réelsθet θ^′, re^iθ=r^′e^iθ′ ⇔r=r^′et il existe un entier relatifktel queθ^′=θ+2kπ.

 Si retθ sont des réels quelconques et siz=re^iθ, la forme trigonométrique dezn’est pas toujoursre^iθ. – sir > 0, la forme trigonométrique dezestre^iθ;

– sir < 0, la forme trigonométrique dezest−re^i(θ+π); – sir=0,z=0 et la forme trigonométrique dezn’existe pas.