Universit´e Paris-Sud 2018–2019 Math201
Feuille 5 : Rappels d’alg` ebre lin´ eaire
Exercice 1. Soit (Σ) le syst`eme d’´equations lin´eaires :
x+ 3y+ 2z= 0 x+y+z+t= 0 x−t= 0
Montrer que l’ensemble des solutions de (Σ) forme un sous-espace vectorielFdeR4. D´eterminer la dimension et une base de F.
Exercice 2. Soient E et F les sous-espaces vectoriels de R3 engendr´es respectivement par les vecteurs
{
2 3
−1
,
1
−1
−2
} et {
3 7 0
,
5 0
−7
}.
Montrer que E est ´egal `a F. Donner une ´equation deE.
Exercice 3. 1. Soit S = {e1 = (1,1,1), e2= (1,1,2), e3 = (1,2,3)}. Montrer que S est une base de R3. Calculer les coordonn´ees dev= (5,7,12) dans cette base.
2. Montrer que les vecteurs w1 = (1,−1, i), w2 = (−1, i,1), w3 = (i,1,−1) forment une base de C3. Calculer les composantes dew= (1 +i,1−i, i) dans cette base.
Exercice 4. On consid`ere les vecteurs de R4 suivants,
e1 =
1 2 3 4
, e2=
1 1 1 3
, e3 =
2 1 1 1
, e4=
−1 0
−1 2
, e5=
2 3 0 1
.
SoientE l’espace vectoriel engendr´e pare1, e2, e3 etF celui engendr´e par e4, e5.
1. Calculer les dimensions respectives et d´eterminer des bases de E , F , E∩F , E+F. 2. Mettre E etF en ´equation.
Exercice 5. Soit n∈N et, pour toutk6n,fk la fonction : x7→fk(x) =ekx. Montrer que la famille{f0,· · · , fn}est libre.
Exercice 6. Soit a∈R.On pose, pour tout p∈N:Ap(X) = (X−a)p etBp(X) =Xp. 1. Montrer que ε={A0, . . . , An}est une base de Rn[X].
2. Soit P ∈ Rn[X]. Montrer que P(X) =
n
X
k=0
1
k!P(k)(a)Ak(X). (On pourra montrer que l’ensemble E des ´el´ement de Rn[X] qui satisfont `a cette ´egalit´e est un sous-espace vectoriel de Rn[X] et contient une base.)
1
Exercice 7. Soient E un espace vectoriel et F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie. Soitf une application lin´eaire deE dans lui-mˆeme.
1. Montrer que, si F ⊂f(F) alorsf(F) =F.
2. Montrer que, si f est injective etf(F)⊂F,alorsf(F) =F.
3. Soit f une application lin´eaire deRp dansRq. Montrer que sip > q alorsf ne peut pas ˆ
etre injective et que si q > p alorsf ne peut pas ˆetre surjective.
Exercice 8. Soient E un espace vectoriel de dimensionnetf une application lin´eaire de E dans lui-mˆeme. Montrer que les deux assertions qui suivent sont ´equivalentes :
i) Ker(f) = im(f).
ii) f2= 0 etn= 2 rg(f).
Exercice 9. Soient
A :=
1 2 −1
−1 −2 1
−1 −2 1
et B :=
2 2 −1
−1 −1 1
−1 −2 2
.
1. Calculer A2.
2. Montrer que Aest de rang 1.
3. Montrer que B est inversible et donner son inverse;
Dans la suite on note f (resp. g) l’endomorphisme de R3 donn´e parA (resp. B) dans la base canonique. On pose
v1 :=
1 0 1
v2 :=
1
−1
−1
et v3 :=
1 0 0
.
4. Montrer que la famille (v1, v2, v3) est une base de R3 et que (v1, v2) est une base du noyau de f.
5. ´Ecrire la matrice de f dans la base (v1, v2, v3).
6. Calculer B−A.
7. En d´eduire la matrice deg dans (v1, v2, v3).
Exercice 10. Trouver deux matricesA etB dansM2(R) telles queAB= 0 etBA6= 0.
Exercice 11 (Matrices semblables). D´eterminer celles des matrices qui suivent qui sont semblables entre elles :
A :=
0 0 1 0
, B :=
0 0 2 0
, C :=
0 1 1 0
, D :=
0 −1
1 0
E :=
1 0 0 1
, F :=
−1 0
0 1
, G :=
0 0 1 1
, H :=
0 0 0 1
.
2
Exercice 12. 1. Soitf ∈ L(R2) telle que f2= 0. Montrer que si f 6= 0 il existe une base εde R2 telle que Mat(f, ε) =
0 0 1 0
.
2. Soit f ∈ L(Rp) et n un entier tels que fn = 0. Montrer que si fn−1(x) 6= 0 alors la famille (x,· · ·, fn−1(x)) est libre ; en d´eduire quefp = 0.
Exercice 13. Soit E un espace vectoriel de dimension finie netf un endomorphisme deE tel que f2 =f. Montrer que E= ker(f)⊕Im(f). Montrer qu’il existe une base (e1,· · ·, en) de E telle que pour touti: f(ei) soit ´egal `a 0 ou `a ei.
Exercice 14. SoitE de dimension finie etf ∈ L(E).
1. Montrer l’´equivalence des trois propri´et´es : (i) kerf = kerf2.
(ii) Imf = Imf2. (iii) E = kerf⊕Imf.
2. En d´eduire que, si f v´erifie la relationf3=f2+f, alorsE = kerf⊕Imf.
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