SÉRIE D’EXERCICES CHAPITRE I CALCULS DANS IR
Boubacar MANÉ 20 mars 2012
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LYCÉE CHÉRIF SAMSIDINE AÏDARA DE VÉLINGARA le 20 mars 2012
SÉRIE : CALCULS DANS R
EXERCICE 1 :
1. Simplifier les expressions suivantes : A = (32 × 75)−3
(72 × 3−3)2 × (7×3)2 32×7
!
et B =
q11 + 6√
√ 2
6 + 2√ 5 +√
2−q7 + 2√ 10. 2. Comparer les réels suivants :
C = √
3−5 et D = q28−10√
3 puis E = √
5−1 et F = q6−2√ 5 3. Écrire les nombres suivants sous une forme plus simple :
G = √54−√24 +√150 H = √20−2√125 +√180 I =
√5
√5−√
3 J =
√20 +√
45−√
√ 80
135−√ 15 EXERCICE 2 :
1. Soit K = (−0.05)3×213×(−49−3)
−25×81×(35)−3 a) Préciser le signe de K.
b) Écrire K sous la forme d’un produit de puissance de nombres premiers.
2. Soit L = q3−2√
2−q3 + 2√ 2 a) Calculer L2.
b) Préciser le signe de L en justifiant votre réponse.
c) Déduire de a) et de b) la valeur de L.
EXERCICE 3 : Résoudre dansR :
|x−1|= 3 |x−6|=|x+ 8| |x+ 1|+ 11
2 = 0 |x−2|=|x2−4x+ 4| |2x−3|= 1−√ 2
√x2−2x+ 1 = 0,3 |x+ 1| − |3x+ 2|= 4 3x−4
|x+ 5|=−2 |x|= 2x+ 3 |3x−5|=|x+ 1|
|x|+x= 0 |3x−5| ≤2x+ 3 q(2x−1)2 <2 |x+ 1| 1 +|x|≥0 EXERCICE 4 :
1. Écrire les inverses des nombres suivants : 2−√
3 ; √ 7−√
6 ; 2√ 2−√
7 ; √ 3−√
5 +√ 7 2. Prouver que l’inverse de √
n+ 1−√
n est √
n+ 1 +√ n 3. Déterminer le plus petit entier naturel n tel que :
1 1 +√
2+ 1
√2 +√
3+ 1
√3 +√
4+· · ·+ 1
√n+√
n+ 1≥100
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LYCÉE CHÉRIF SAMSIDINE AÏDARA DE VÉLINGARA le 20 mars 2012
EXERCICE 5 :
a) Étant donné a tel que : a = 3
v u u t1 +
s152 27 − 3
v u u t−1 +
s152
27. Montrer que a3+ 5a est un entier.
b) Déterminer une expression algébrique P à coefficients entiers telle que P(a) = 0 : i) quand a =√
2 +√ 5 ii) quand a =√
3 +√ 2−√
5
c) Démontrer que les assertions suivantes sont vraies :
i) Soient a et b deux réels tels que : 0 < a < b. Montrer que b2 + 3a2 < (a + b)2 et en déduire que
√ 2 +√
32 >9
ii) Pour tous réels x et y on a :|x−y| ≤ |x|+|y|. EXERCICE 6 :
Soient a, b et c des réels strictement positifs tels que abc> 1 et a + b + c < 1 a+ 1
b+1 c. 1. Montrer qu’aucun de ces trois nombres n’est négatif.
2. Montrer que l’un au moins est plus petit que 1.
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