Nombres et calculs I)

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Nombres et calculs I) Comparer des décimaux :

Les nombres décimaux sont composés d’une partie ……… et d’une partie ……….

Lorsque l’on additionne la partie ……… et la partie ……… d’un nombre, on retrouve le nombre décimal.

Soit le nombre décimal 12,36. Sa partie entière est ……, sa partie décimale est ……. En effet partie entière + partie décimale = nombre décimal. …… + …… = ………….

Pour comparer des décimaux, il faut dans un premier temps reconnaitre le rang des chiffres qui composent ce nombre.

Exercice :

Donner le nom des rangs occupés par les chiffres formant le nombre 8 462 710,539.

0 occupe le rang des ……….

1 occupe le rang des ……….

2 occupe le rang des ……….

3 occupe le rang des ……….

4 occupe le rang des ……….

5 occupe le rang des ……….

6 occupe le rang des ……….

7 occupe le rang des ……….

8 occupe le rang des ……….

9 occupe le rang des ……….

Pour comparer des nombres décimaux, on compare d’abord les parties entières.

Si elles sont égales, on compare les dixièmes. S’ils sont égaux, on compare les centièmes.

S’ils sont égaux, on compare les millièmes etc…

Exemple : Comparer 215,178 et 215,174

On compare les parties entières, elles sont égales à 215.

On compare les dixièmes, ils sont égaux à 1.

On compare les centièmes, ils sont égaux à 7.

On compare les millièmes 8 > 4 alors 215,178 > 215,174.

Exercice : Compare les nombres décimaux suivants et indique quel rang est choisi pour la comparaison. (Les fautes de syntaxe sont volontaires pour ne pas orienter la solution.)

a) 17,75 et 18,225

17,75 …… 18,225 car ………de 17,75 est ……… à ………

de 18,225.

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b) 4,66 et 4,686

4,66 …… 4,686 car ………de 4,66 est ……… à ………

de 4,686.

c) 7,215 et 7,54

7,215 …… 7,54 car ………de 7,215 est ……… à ………

de 7,54.

d) 18,5 et 18,39

18,5 …… 18,39 car ………de 18,5 est ……… à ………

de 18,39.

e) 114,365 et 114,36

114,365 …… 114,36 car ……… de 114,365 est ……… à ………

de 114,36.

II) Additionner des nombres relatifs.

On peut additionner des nombres relatifs positifs et négatifs. On ne parle pas de soustraction. (Attention : un nombre sans signe est positif, 17 est positif et -17 est négatif.)

1) Dans le cas de deux nombres :

- Si on veut additionner deux nombres de même signe, on additionne les nombres et on garde le signe commun.

18 + 2 = 20 (-18) + (-2) = -20

- Si on veut additionner deux nombres de signes contraires, on soustrait celui qui a la plus petite valeur absolue de celui qui a la plus grande et on garde le signe du nombre qui a la plus grande valeur absolue. (On appelle valeur absolue d’un nombre, le nombre sans son signe.)

18 + (-23) = -5 (On a fait 23 - 18 = 5 et on a affecté le signe de -23, ce qui fait -5) -18 + 23 = 5 (On a fait le même calcul 23 – 18 = 5 et on a affecté le signe de 23, ce qui fait 5)

Exercice : Sans utiliser de calculatrice additionner les nombres suivants : -15 + 3 = …… 17 + 5 = …… -10 – 8 = …… 13 – 26 = ……

-7 + 7 = …… 2 – 9 = …… -5 – 5 = …… 13 + 7 = ……

2) Dans le cas de plus de deux nombres :

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On peut additionner les nombres deux par deux, mais il est souvent plus intéressant de regrouper les nombres positifs et les nombres négatifs afin de finir par l’addition de deux nombres.

-7 + 3 + 6 – 4 – 2 + 8 = 3 + 6 + 8 – 7 – 4 – 2 = 17 – 13 = 4 (Il n’est pas utile de les réécrire, on effectue directement les additions -7 + 3 + 6 – 4 – 2 + 8 = 17 – 13 = 4)

Exercice : Sans utiliser de calculatrice additionner les nombres suivants : -9 + 3 – 2 – 1 + 2 + 1 = ………= ……

9 – 16 – 8 + 22 – 3 = ……… = ……

-14 + 8 – 7 – 3 + 6 + 5 = ……… = ……

15 + 3 – 7 – 8 – 9 + 6 = ……… = ……

III) Soustraire des nombres relatifs.

Pour soustraire un nombre relatif, on additionne son opposé puis on applique les règles de l’addition. 12 – (-3) = 12 + 3 = 15.

Il est plus simple lorsque deux signes se suivent d’appliquer la règle des signes suivante : Deux signes identiques qui se suivent donnent + et deux signes différents qui se suivent donnent -. Ce qui permet d’enlever les parenthèses, en effet

12 – (-3), on dispose de deux signes ……… qui se suivent, on écrit 12 …… 3.

12 – (+3), on dispose de deux signes ……… qui se suivent, on écrit 12 …… 3.

Exercice : Sans utiliser de calculatrice, soustraire les nombres suivants après avoir supprimé les parenthèses :

(+17) – (-3) – (+2) – (-5) = ………

(-22) – (+11) – (-5) – (-4) = ………

(+14) – (+3) – (+5) – (-7) = ………

IV) Multiplier des nombres relatifs :

Pour multiplier des nombres relatifs, on multiplie les nombres en appliquant la règle des signes. Deux signes identiques qui se suivent donnent + et deux signes différents qui se suivent donnent -.

(-3) x (-5) = 15 (-3) x (+5) = -15

Lorsque dans une multiplication de nombres relatifs, on a plus de deux nombres. On peut compter le nombre de signes moins.

Si le nombre de signes moins est …………, le résultat sera ………, s’il est ………, le résultat sera ……….

(-3) x (-5) x (-2), c’est un produit de trois nombres négatif, trois étant impair, le résultat sera négatif. En effet, (-) x (-) = (+) et (+) x (-) = (-).

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Exercice : Sans utiliser de calculatrice multiplier les nombres suivants : (-5) x (-2) x (+4) x (-1) = ……

(+2) x (-2) x (+2) x (-2) x (+2) x (-2) = ……

(-7) x (-3) x (-1) x (-2) x (+2) = ……

(-2) x (-3) x (+1) x (-4) x (+2) = ……

Nota : Pour diviser deux nombres relatifs, on applique la même règle que précédemment.

Exercice : Sans utiliser de calculatrice calculer : (attention à la priorité des opérations.) (-5) + (+2) x (-4) = ………

(-10) + (+24) : (-6) = ………

(-30) : (-10) + (+4) x (-3) = ………

V) Développer et réduire une expression :

Une expression littérale est une expression mathématique contenant ………

……… qui désignent ……….

Développer une expression littérale, c’est la transformer en ………

………. La réduire c’est regrouper les termes ………. Lorsque les lettres ont des exposants, on les classe ………. Il faudra faire attention aux signes moins en faisant les opérations entre parenthèses en premier.

Exemples :

2(4c – 9) = 8c – 18

(3 + a)(-a – 4) = -3a -12 – a² – 4a = -a² – 7a – 12

2 – (4 + a)(a – 2) = 2 – (4a – 8 + a² – 2a) = 2 – (a² + 2a – 8) = 2 – a² – 2a + 8 = -a² – 2a + 10 Exercice : Développer et réduire les expressions littérales.

3(-x + 2) = ………

(7x – 6)4 = ………

-(8x + 3) – 4x = ………

3(x – 2) – 2(1 – x) = ………

(1 – x)(3x – 4) = ………

2(3 – x²) + 4(x – 1)(5 – 2x) = ………

VI) Multiplier et diviser par 10, 100, 1000

Multiplier un nombre décimal par 10, 100, 1 000, c’est décaler la virgule de 1, 2 ou 3 rangs. Si on ne peut plus décaler la virgule, le nombre étant devenu entier, on ajoute des zéros.

3,83 x 10 = 38,3 (On décale la virgule de 1 rang)

0,4 x 100 = 40 (Il faut décaler la virgule de deux rangs, on ne peut la décaler que de un rang, on ajoute un zéro)

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732,3 x 1 000 = 732 300 (On décale la virgule de un rang et on ajoute deux zéros) Pour diviser par 10, 100, 1 000, on décale la virgule de 1, 2 ou 3 rangs de sorte d’obtenir un nombre plus petit. Il faut décaler la virgule vers la gauche. Si on ne peut plus décaler la virgule, on ajoute également des zéros.

0,5 : 1 000 = 0,000 5

Pour multiplier un nombre par 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; cela revient à multiplier un nombre par un nombre plus petit que un et donc à diviser. Pour multiplier par 0,1 ; cela revient à diviser par 10. Pour multiplier par 0,01 ; cela revient à diviser par 100 etc…

6,3 x 0,01 = 0,063

Pour diviser un nombre par 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; cela revient à diviser un nombre par un nombre plus petit que un et donc à multiplier. Pour diviser par 0,1 ; cela revient à multiplier par 10. Pour diviser par 0,01 ; cela revient à multiplier par 100 etc…

45 : 0,01 = 45 x 100 = 4 500

Exercice : Faire les calculs sans utiliser la calculatrice.

32,7 x 1 000 = ………

4,4 : 100 = ………

0,0125 x 100 = ………

0,05 : 0,001 = ………

0,12 x 0,1 = ………

3 250 x 100 = ………

4 732 : 1000 = ………

125 : 0,01 = ………