Durée : 1 heures
[ DS du 11 septembre 2019 TS1 \
Exercice 1 2 points
On considère la suite (un) définie paru0=5 et la relation de récurrence : un+1= −4un+3n−1 1. Calculezu1etu2.
u1= −4×u0+3×0−1= −21 et u2= −4×u1+3×1−1=86
2. A l’aide de la calculatrice déterminer les premiers termes de la suite et faire une conjecture sur les variations et les limites de la suite. Pas de résultat intéressant (ni croissant, ni décroissant)
Exercice 2 4,5 points
1. On considère la suite arithmétique (un), dont le terme initial est 333 et la raison−5. Combien cette suite possède-t- elle de termes positifs ?
un=333−5n≥0⇔333≥5n⇔333
5 =66,6≥n Donc il y a 67 termes positifs.
2. Calculer la somme suivante, sachant que les termes de cette somme sont les termes d’une suite arithmétique :
S= −123−120−...−30=−123−30
2 ×
·−123+30
−3 +1
¸
| {z }
32 termes
= −2448
3. Déterminer l’entierntel que :
8+9+...+n=14000=8+n
2 (n−8+1)⇔(n+8)(n−7)=28000⇔n2+n−28056=0
Recherche des racines :∆=112225 Doncn1=−1−p 112225
2×1 = −168 etn2=−1+p 112225 2×1 =167.
Donc lencherché est 167.
Exercice 3 2 points
On considère la suite (un) définie paru0= −4 et par la rela- tion de récurrenceun+1=f(un) avecf fonction affine don- née parf(x)=3x+10.
La fonctionf est représentée ainsi que la droite d’équation y=x, une graduation correspondant à une unité.
1. En utilisant le graphique, représenter les premiers termes de la suiteun(peu de termes peuvent être représentés) et conjecturer le sens de variations de la suite (un) .
Terminale S 1 Mercredi 11 septembre.
2. Quelle semble être la limite de la suite. (Il n’est pas demandé de justifier) La limite semble être+∞.
Exercice 4 3,5 points
Soit une fonctionf définie surRparf(x)=(x+1)3.
1. Donner l’expression def0(x)=3×1×(x+1)2=3(x+1)2. 2. Calculerf0(1)=12 etf(1)=8.
3. Déterminer l’approximation affine def en 1 et en déduire une valeur approchée def(0.994).
f(1+h)'f(1)+f0(1)h=8+12h Doncf(0,994)=f(1−0,006)'8+12×(−0,006)'7,928
Exercice 5 2 points
Soit une fonctionf définie surRparf(x)=4x2−x−4.
Déterminer l’équation de la tangente à la courbe représentative def au point d’abscisse−3.
f0(x)=8x−1 Donc l’équation de la tangente en -3 est :
y=f0(−3)(x+3)+f(3)=(8×(−3)−1)(x+3)+4×(−3)2−(−3)−4= −25x−40
Exercice 6 2 points
Soit une fonctionf parf(x)=−x2+4x−2
x2+2 . Donner le domaine de définition def et déterminerf0(x).
Df =Rcarx2+2≥2>0.
f0(x)=(−2x+4)(x2+2)−2x(−x2+4x−2)
(x2+2)2 =−4x2+8 (x2+2)2
Exercice 7 4 points
Soit une fonctionf définie surR∗parf(x)=5
x eta=−5 9 .
Déterminer les équations réduites des deux tangentes à la courbe représentative def de coefficient directeura. On com- mencera par déterminer les abscissesx1etx2(avecx1<x2) des points de tangence.
Il faut résoudref0(x)=−5 9 =−5
x2 ⇔x=3 ou x= −3.
La tangente en−3 est :y=−5
9 (x+3)−5 3=−5
9 x−10 3 La tangente en 3 est :y=−5
9 (x−3)+5 3=−5
9 x+10 3 .
Exercice 8 (justifier succinctement le résultat.) 1 points
Lycée Paul Rey 2
Terminale S 1 Mercredi 11 septembre.
f0(2)=yB−yA
xB−xA=2,14−0,61
−1−(−2) =1,5 (Coefficient directeur de la tangente en -2 donc de la droite (AB))
Exercice 9 4 points
La courbe ci-dessous représente une fonctionf définie sur [−1;+∞[ de la forme : f(x)=ap
x+1+bx+1
On sait quef(0)= −6 ;f(2)=3−5p
3 etf0(0)=−1 2 .
Calculer a,b et c.
f0(x)= a 2p
x+1+b
f(0)=a+c= −6 f(2)=ap
3+2b+c=3−5p 3 f0(0)=a
2+b=−1 2
⇔
L1 L2−L1−2L3
L3
a+c= −6 a(p
3−2)=10−5p 3 a
2+b=−1 2
⇔
c= −6−a= −1 a=10−5p
p 3
3−2 = −5 b=−1
2 −a 2 =2
Lycée Paul Rey 3
