Pour tout entier relatif l’intervalle est noté . On considère les équations différentielles linéaires :

MATHÉMATIQUES I Filière TSI

Concours Centrale-Supélec 1999

Le but de ce problème est l’étude des solutions réelles d’une équation différen- tielle.

Les trois parties de ce problème sont dans une large mesure indépendantes.

Notations

Pour tout entier relatif l’intervalle est noté . On considère les équations différentielles linéaires :

Partie I -

I.A -

I.A.1) Montrer que les intégrales :

et sont divergentes.

I.A.2) Déterminer l’ensemble de définition de la fonction : :

I.B -

I.B.1) Décomposer en éléments simples sur le corps des réels la fraction rationnelle :

I.B.2) À l’aide d’un changement de variables, calculer pour apparte- nant à .

I.C - Résoudre l’équation différentielle sur l’intervalle pour tout entier relatif .

I.D - Existe-t-il des solutions de de classe sur ?

I.E - Exprimer les solutions de sur à l’aide des fonctions définies sur par :

où est un réel strictement positif.

k ] - π⁄2+kπ,π⁄2+kπ [ I_k E₀

( ) cos( )x (1+cos²( )x ) y′+sin³( ) x y = 0 E₁

( ) cos( )x (1+cos²( )x ) y′+sin³( ) x y = sin( )cosx ( )x

sin³t cost(1+cos²t) --- dt

0 π

2---

∫

2--- –

∫

f xaf x( ) sin³t cost(1+cos²t) --- dt

0

∫

=

1–X X(1+X) ---

f x( ) x I₀

E₀

( ) I_k

k

E₀

( ) C¹ IR

E₁

( ) I₀ F_λ

] 0 +, ∞ [

F_λ( )u u 1+u²

--- u

λ---

   ln

= λ

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I.F - L’équation admet-elle des solutions de classe sur ? I.G - On considère la courbe d’équation .

I.G.1) Construire la courbe .

I.G.2) Soit un nombre réel strictement positif et différent de . Montrer que les tangentes au point d’abscisse des courbes sont concourantes en un point noté .

I.G.3) Construire le lieu des points quand varie.

Partie II - Étude d’une courbe intégrale de

Soit la fonction définie sur par et pour tout appar- tenant à :

II.A - Montrer que la fonction est de classe sur (on pourra faire une démonstration par récurrence).

II.B -

II.B.1) Étudier le signe de , pour appartenant à et en déduire

que .

II.B.2) Étudier les variations de sur .

II.B.3) Montrer qu’il existe un et un seul réel appartenant à tel que

. On pose .

II.C - Étudier la suite définie par : et pour tout , . Montrer que cette suite converge vers . Montrer que est com- pris entre les valeurs de deux termes consécutifs de la suite.

II.D - Donner un algorithme permettant de calculer pour un entier donné la valeur de .

Application : si donner une valeur approchée de et puis justifier

l’inégalité : .

En déduire une valeur approchée à près de .

II.E - On définit la fonction sur par , (où est défini à la question I.E).

II.E.1) Vérifier que . II.E.2) Étudier les variations de .

E₁

( ) C¹ IR

Γ_λ y = F_λ( )x

Γ₂

a 1

D_λ a Γ_λ

M a( )

M a( ) a

( )E h [– 11, ] h( )1 = h( )–1 = 0 x

] -1 1[, h x( ) exp x²+1

x²–1 ---

 

 

 

=

h C^∞ [– 11, ]

h″( )x x [– 11, ]

∀x∈–1 1, , h′( )x <1

h [– 11, ]

L [– 11, ] h L( ) = L α = Arccos( )L

u₀∈[ 0 1 [, n∈IN

u_n+1 = h u( )_n L L

p u_p

u₀ = 0 u₁₀ u₁₁

L–u₁₀ ≤ u₁₁–u₁₀

10^–2 α

g I₀ g x( ) = F₁(cosx) F₁ g′ α( ) = 0

g

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II.E.3) Construire la représentation graphique de en prenant comme unité 5 centimètres et préciser les tangentes aux points d’abcsisse 0 et .

Partie III - Développement en série de Fourier d’une solution de

Soit la fonction définie sur par : . III.A -

III.A.1) Montrer que est développable en série de Fourier sur . III.A.2) Prouver qu’il existe une suite telle que :

,

(on ne demande pas de calculer les valeurs de ).

III.B - On considère la fraction rationnelle :

III.B.1) Montrer que .

III.B.2) Décomposer en éléments simples. On posera . Quelle est la valeur de pour laquelle :

III.C - En déduire, grâce à des développements en séries entières par rapport à ou à , le développement en série de Fourier de et la valeur des termes de

la suite .

III.D - Quel est le développement en série de Fourier de la fonction définie sur par :

••• FIN •••

g π

2---

E₀ ( )

G IR G x( ) 2cos( )x

1+cos²( )x ---

=

G IR

α_n ( )_n∈IN

∀x∈IR G x( ) α_ncos(2n+1)x

n=0

∑

=

α_n

H X( ) 1+X X²+6X+1 ---

=

G t( ) = 4e^itH e( ^2it)

H X( ) c = 3–2 2

A H X( ) A 1

X+c

--- 1

cX+1 --- +

=

X 1

---X G

α_n ( )_n∈IN

G₁ IR

G₁( )x 2

---2 2+sin( )x

2–sin( )x ---

 

 

ln

=