4°maths Serie 8 Mr.Karmous

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Exercice 01

1. Soit θ un réel de l’intervalle ]0, π [. Résoudre dans C l’´equation : z² − 2iz − 1 −

e

^{2iθ =} 0.

2. Dans le plan complexe rapporte a un repère orthonormé direct (O, ⃗u , ⃗v ) , on considère les points A, M et N d’affixes respectives −1 + i, 1 +

e

^{iθ et i −}

e

^{iθ .}

(a) Montrer que ⃗

AM

⊥ ⃗

AN

.

(b) Montrer que lorsque

θ

varie dans ]0,

π

[ les points M et N varient sur un cercle C que l’on déterminera.

3. (a) Déterminer en fonction de θ l’aire A ( θ ) du triangle AMN.

(b) Déterminer la valeur de

θ

pour laquelle A (

θ

) est maximale et placer dans ce cas les points M et N sur le cercle C

Exercice 2

θ etant un réel de l’intervalle [0, 2 π _[ ; on pose pour tout nombre complexe z : f (z) = z² − (i +

e

^iθ )z + (1 + i)(−1 +

e

^{iθ ).}

1. (a) Vérifier que f(1 + i) = 0.

(b) En déduire les solutions z′ et z′′ dans C de l’´equation f(z) = 0.

2. le plan complexe rapport´e `a un repère orthonormé direct (O, ⃗u , ⃗v ), on considère les points A, B et M d’affixes respectives : −1, i

√

³ et −1 +

e

^{iθ .}

(a) Montrer que lorsque θ varie dans [0, 2 π [, M varie sur un cercle C a préciser.

(b) Déterminer les valeurs de

θ

pour lesquelles la droite (BM) est tangente à C . Exercice 3

Soit dans C l’´equation : z² − (1 + i)(cos θ _ + sin θ _)z + i = 0 avec θ ∈ ]0, π [ . 1. (a) Verifier que 2i(cos

θ

+ sin

θ

)² − 4i = (1 − i)² (cos

θ

− sin

θ

)².

(b) Résoudre dans C l’´equation et mettre les solutions sous forme trigonométrique.

2. On désigne le plan par A, M1 et M2 les points d’affixes respectives : 1, eⁱ⁽

π

2−θ) et

e

^iθ (a) Montrer que le triangle OM1M2 est isocèle en O.

(b) Déterminer

θ

pour que le triangle OM1M2 soit ´équilatéral.

(c) Déterminer θ pour que AM1 = AM2.

3. Soit I le milieu de [AM2], déterminer l’ensemble des points I quand

θ

d´écrit [0,

π

].

Exercice 4

Dans le plan complexe rapporte a un repère orthonormé direct (O, ⃗u , ⃗v ) , on considère les points A et B d’affixes respectives a et 1 ou a ∈ C /{1}.

Soit f : P/{B} −→ P, M(z) −→ M′(z′) telle que z′ =

z – a z

−1

1. Montrer que les affixes des points invariants par f sont les solutions de l’´equation (E) : z² − 2z + a = 0.

2. (a) On pose a = 1 +

e

^2iθ où θ ∈

¿

¿

π

2

,

3

π

2 ¿ . Résoudre ( E) dans C.

(b) Mettre sous forme trigonométrique chacune des solutions de ( E) 3. Dans cette question on pose a = −1. Soient M ∈ P/{B} et M′(z′).

(a) Montrer que ( ⃗

U

, ⃗

BM

) + ( ⃗

U

, ⃗

BM ’

) ≡ 0 [2 π ]. En déduire que la demi-droite [BA)est une bissectrice de ( ⃗

BM

, ⃗

BM ’

)

(b) Montrer que z′ est un imaginaire pur si et seulement si |z| = 1.

(c) En déduire la construction du point M’’ image par f d’un point M du cercle trigonométrique prive du point B.