M´edianes et moyennes structurelles de courbes issues de l’imagerie hyperspectrale
V. Achard ∗ F. Gamboa † Septembre 2014
R´ esum´ e Une image hyperspectrale est une image tridimensionnelle. A chaque pixel est as- soci´ e une courbe appel´ ee spectre dont la forme est caract´ eristique de l’´ el´ ement de l’image (chlorophylle, bois, milieu urbain, ...). L’objectif de ce projet est d’´ etudier des moyennes non euclidiennes de ces spectres.
Mots clefs : Moyennes et m´ edianes structurelles. Transform´ ee de Fourier.
Construction de moyennes et m´ edianes non euclidiennes
La moyenne euclidienne peut ˆ etre vue comme le point minimisant l’inertie moyenne bˆ atie sur la somme des carr´ es des distances aux points du nuage. On peut d´ efinir de fa¸con similaire la m´ ediane euclidienne en consid´ erant la somme des distances ` a la place de la somme des carr´ es des distances. Lorsque l’on dispose d’un ´ echantillon de spectres similaires (acquis sur une mˆ eme texture), il peut ˆ etre int´ eressant d’agr´ eger ces courbes en une courbe arch´ etype. La moyenne euclidienne obtenue en faisant la moyenne euclidienne des valeurs observ´ ees de la fonction pour chaque abscisse est un candidat naturel pour cette arch´ etype. Cette fa¸con de proc´ eder n’est en g´ en´ eral pas tr` es satisfaisante car la courbe moyenne obtenue est trop r´ egularis´ ee avec une att´ enuation notable des petits ´ ev´ enements. L’objectif de ce projet de 5` eme qui pourrait ˆ etre poursuivi dans le cadre d’un stage ` a l’ONERA ann´ ee est d’´ etudier et de mettre en place des arch´ etypes bˆ atis sur des moyennes et m´ edianes non euclidiennes. Ces moyennes et m´ edianes seront obtenues par un crit` ere variationnel comme dans le cas euclidien mais en rempla¸cant la norme euclidienne par une dissemblance ou distance plus adapt´ ee ` a la g´ eom´ etrie des courbes consid´ er´ ees. Par ordre de complexit´ e, nous ´ etudierons
1. Le cas ou la distance euclidienne est remplac´ ee par la divergence de Bregman :
d
γ(x, y) := γ(x) − γ(y) − γ
0(y)(x − y),
o` u γ est une fonction convexe r´ eguli` ere donn´ ee. Le cas euclidien correspond ` a γ(x) = x
2. Une ´ etude simple de ces moyennes de Bregman est d´ evelopp´ ee dans [1].
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DOTA ONERA Toulouse [email protected]
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