EPREUVE DE MATHEMATIQUES N°2 DU 1

MINESEC / OBC Lycée Classique d’Edéa Epreuve de Mathématiques N° 2 du 1^er Trimestre Profs : TNAM&NDG@2020

EPREUVE DE MATHEMATIQUES N°2 DU 1^er TRIMESTRE

PARTIE A : EVALUATION DES RESSOURCES (15 points) EXERCICE 1 : (4,5 points)

1. (a) Résous dans l’équation 0,75pt (b) Déduis-en les entiers naturels inférieurs à tels que dans la division euclidienne de par , le reste soit , et dans celle de par , le reste soit 0,5pt 2. Soient et deux entiers naturels non nuls tels que On pose

et

Détermine tous les couples vérifiant le système : 1pt

3. Soit l’ensemble des triplets d’entiers relatifs tels que

(a) Montre que pour un tel triplet, 0,5pt (b) On pose et où et sont des entiers relatifs et

Montre que les éléments de sont de la forme 0,5pt (c) L’espace est rapporté à un repère orthonormé Soit P le plan d’équation

Détermine l’ensemble des points à coordonnées entières relatives appartenant au plan P et situés à l’intérieur du cube de centre , de côté et dont les arêtes sont parallèles aux axes. 1,25pt EXERCICE 2 : (3 points)

Soient et les suites définies par et

Soit la droite d’équation et les points de coordonnées

1. Montre, par récurrence, que pour tout et déduis-en que 1pt 2. Montre, par récurrence, que pour tout , et 0,5pt 3. Montre que est divisible par si et seulement si est divisible par 0,75pt 4. Montre que si et ne sont pas divisibles par , alors ils sont premiers entre eux. 0,75pt EXERCICE 3 : (5 points)

On considère les fonctions numériques d’une variable réelle définie par : et

1. Montre que pour tout et ont le même signe. 0,5pt Ministère des Enseignements Secondaires

LYCEE CLASSIQUE D’EDEA TEL : 233 46 40 75 Mle.7HH1GSFD112218074

Profs : T. N. AWONO MESSI & NGOH DOOH G.

Année scolaire : 2020-2021 Classe : T^le C

Durée : 4h Coefficient : 7 Mercredi, 25 Novembre 2020

( ) x

( ) y

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( ) ^{E : 23 x − 17 y = 6.}

A 1000

A 23 2 A 17 8.

a b ^{ = PGCD a b} ( ) ^;

( ) ^{; .}

PPCM a b

 =

( ) ^{a b ;}

156

 

 

= + = . a  b

{

E ( ^{u v w , ,} ) ^{3 u + 13 v + 23 w = 0.}

  ^{3 .}

v  w 3

v = k + r w = 3 k

+ r k k , r 0   r 2.

E ( ^{− 13 k − 23 k − 12 ,3 r k + r k ,3 + r} ) ^.

,

, ,

( ^{O i j k , , ,} ) ^.

3 x + 13 y + 23 z = 0. M ( ^{x y z , ,} )

O 5

0

1,

8

x = y =   n ,

1

7 1

3 3 1

n n n

x

= x + y +

( ) ^

1

20 8

3 3 5

n n n

y

= x + y + 5 x − + = y 3 0 M

( x y

^,

) ^.

( )

,

n  M   x

= 4 x

+ 2.

n  x

 y

 .

x

3 y

3.

x

y

3

( ) ¹

¹

f x 3 x x x

 

=   + +  

( ) ²

^1.

g x = x + x −

( )

0,

x  f x

^{g x} ( )

( )

{

MINESEC / OBC Lycée Classique d’Edéa Epreuve de Mathématiques N° 2 du 1^er Trimestre Profs : TNAM&NDG@2020

2. (a) Etudie les variations de sur et dresse son tableau de variations. 0,5pt (b) Déduis-en que l’équation admet dans une solution unique 0,5pt 3. Dresse le tableau des variations de la fonction 1pt 4. On désigne par C la représentation graphique de la fonction dans un repère orthonormé

(unité graphique : ), par et les points de C d’abscisses respectives et (a) Vérifie que la droite est la tangente en à C . 0,5pt (b) Ecris une équation de la tangente en à C et étudie leurs positions relatives.0,75pt (c) Construis soigneusement C. On prendra comme valeur approchée de 0,75pt 5. Détermine les primitives de sur 0,5pt EXERCICE 3 : (2,5 points)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (unité graphique : ) On note et les points d’affixes respectives et A tout point d’affixe , distinct de et , est associé le point d’affixe définie par On pose où

1. Montre l’égalité 1pt 2. Détermine et construis l’ensemble E des points d’affixe telle que 0,5pt 3. Détermine l’ensemble F des points d’affixe telle que 0,5pt 4. Montre que si et seulement si 0,5pt

PARTIE B : EVALUATION DES COMPETENCES (5 points) SITUATION :

M. HASSAN est un astronome et loue une maison à partir du 1^er Janvier 2020. Il a le choix entre deux formules de contrat. Dans les deux cas, le loyer annuel initial est de FCFA et M. HASSAN s’engage à occuper la maison pendant neuf années complètes.

✓ Contrat N° 1 : Il accepte une augmentation annuelle de du loyer de l’année précédente ;

✓ Contrat N° 2 : Il accepte une augmentation annuelle forfaitaire de FCFA du loyer de l’année précédente.

Dans le cadre de son travail, M. HASSAN a observé au jour une comète , qui apparaît périodiquement tous les jours. Six jours plus tard , il a observé une comète dont la période d’apparition est de jours. Il appelle le jour de la prochaine apparition simultanée des deux comètes à ses yeux.

Tâches :

1. Calcule la somme payée à l’issue des neuf années avec le contrat N° 1. 1,5pt 2. Calcule la somme payée à l’issue des neuf années avec le contrat N° 2. 1,5pt 3. Calcule le nombre de jours qui s’écouleront entre et 1,5pt

Présentation : 0,5pt

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g

( ) ⁰

g x = ^{ }   ^{0;1 .}

. f

( ^{O i j , ,} ) ^{3cm I J} f ^{− 1 1.}

( ) ^{IJ J}

( ) ^{T I}

 . 2

F f  ^{0; +}  ^. 3

480.000

5%

30.000

J

A

105 ( J

+ 6 ) B

81 J

J

J

.

( ^{O u v , ,} ) ^.

A B 1 i . M z A B

M Z ( ¹ )( )

1 . i z i

Z z

− −

= −

,

z = + x iy x y ,  .

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2 2

1 1 1 1

.

1 1

x y x y

Z i

x y x y

− + − − + −

= −

− + − +

M z Z  i .

M z

( ^{1 − i 3} ) ^{z − 3 − i}

|

= 4.

Z 

( ^{MA MB ,} ) ^{= } ₄ ^{+ k  , k  .}

2cm