EPREUVE DE MATHEMATIQUES N°1 DU 1

MINESEC / OBC Lycée Classique d’Edéa Epreuve de Mathématiques N° 1 du 1^er Trimestre Profs : TNAM&NDG@2020

EPREUVE DE MATHEMATIQUES N°1 DU 1^er TRIMESTRE

PARTIE A : EVALUATION DES RESSOURCES (15 points) EXERCICE 1 : 3,5 points

Les suites d’entiers naturels et sont définies sur par :

1. Démontre par récurrence que 0,5pt 2. Calcule Qu’en conclure ? 0,5pt 3. (a) Démontre que, Exprime en fonction de 0,75pt

(b) Etudie suivant les valeurs de l’entier naturel le reste de la division euclidienne de par 0,75pt

4. On pose pour tout entier naturel

(a) Démontre que l’on a : ou 0,5pt (b) Déduis-en l’ensemble des entiers naturels tels que 0,5pt EXERCICE 2 : (4 points)

1. (a) Soit un entier naturel. Montre que l’un des trois nombres et , et un seulement, est divisible par 1pt (b) Les entiers et sont, dans cet ordre, les trois premiers termes d’une suite

arithmétique de raison Détermine et sachant qu’ils sont premiers. 1pt 2. Pour tout entier naturel non nul , on pose et

(a) Démontre par récurrence que est multiple de 0,75pt (b) Démontre par congruence que est multiple de 0,75pt

(c) Déduis-en que les nombres et ne sont pas premiers entre eux. 0,5pt EXERCICE 3 : (3 points)

1. Dans le plan rapporté au repère orthonormé , D est la droite d’équation cartésienne Détermine l’ensemble des points de D à coordonnées entières. 1pt

2. Le parking d’un Lycée n’a que des motos et des voitures. Un matin, HASSAN élève en classe de T^le C affirme avoir dénombré roues dans ce parking, mais ne se souvient pas du nombre de motos ou de voitures.

Aide-le à retrouver le nombre de motos et le nombre de voitures. 1pt 3. Détermine tous les nombres entiers qui s’écrivent en base et qui sont

multiples de 1pt Ministère des Enseignements Secondaires

LYCEE CLASSIQUE D’EDEA TEL : 233 46 40 75 Mle.7HH1GSFD112218074

Profs : T. N. AWONO MESSI & NGOH DOOH G.

Année scolaire : 2020-2021 Classe : T^le C

Durée : 3h Coefficient : 7 Mercredi, 11 Novembre 2020

( ) x

( ) y

et

0

1

y =

y

= 2 y

+ 3

,

2

1.

n x

  = +

, 2

5.

n x y

  − = y

n .

p 2

^5.

. n n

0

3

x = x

= 2 x

− 1

(

;

) . PGCD x x

( ^; )

n

PGCD x y

 =

n

1

 = 

= 5.

p p p , + 10 p + 20

3.

, a b c

10. a b , c

n A

= 3

− 2

B

= 3

+ 2

.

A

B

28 14

3 − 2 3

+ 2

2 x + − y 20 = 0.

40

( ^{O i j , ,} )

E

n

1.

 =

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00 N = a b

N 10

7.

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EXERCICE 4 : (4,5 points)

Soit la suite définie sur par et où est la fonction définie sur par On note C la courbe représentative de dans le plan muni d’un repère orthonormé d’unité graphique

1. Construis soigneusement la courbe C . 0,5pt 2. Place les quatre premiers termes de la suite Quelle conjecture peux-tu émettre

pour la suite ? 1pt 3. (a) Montre que pour tout 0,5pt (b) Montre que la suite est décroissante. Qu’en conclure ? 0,75pt 4. (a) Vérifie que et déduis-en que 0,5pt

(b) Déduis-en que pour tout 0,5pt

(c) Montre que tel que 0,5pt (on admettra que )

(d) Que peut-on conclure pour la suite 0,25pt PARTIE B : EVALUATION DES COMPETENCES (5 points)

SITUATION :

AYISSI, TIKI et DIKA ont trois façons différentes de préparer leurs études universitaires.

Chacun d’eux modélise son épargne par une formule afin de connaître en temps réel la somme dont il dispose dans son compte.

✓ Pour AYISSI, son solde initial est de FCFA et chaque année, son compte est crédité du solde de l’année précédente augmenté de de son solde initial. Il affirme qu’avec la formule , il peut connaître son solde à chaque année ;

✓ TIKI quant à lui opte pour un solde initial de FCFA et chaque année, son compte est crédité du solde de l’année précédente multiplié par Il affirme qu’avec la formule , il peut connaître son solde à chaque année ;

✓ DIKA opte pour un dépôt initial de FCFA et à partir de l’année qui suit immédiatement celle de son dépôt, son compte est crédité de son solde initial multiplié par le cube de la année d’épargne. Il affirme qu’avec la formule , il peut connaître son solde à chaque année.

Tâches :

1. Démontre la véracité de la modélisation de DIKA. 1,5pt 2. Démontre la véracité de la modélisation de TIKI. 1,5pt 3. Démontre la véracité de la modélisation d’AYISSI. 1,5pt Présentation : 0,5pt

( ) U

U

= f U ( )

 ^{0; +}  ^{f x} ( ) ^{= x .} f

f

( ^{O i j , ,} ) ^{1 cm .}

( ) U

^.

( ) U

,

1.

n  U 

( ) U

1 1 1

n n

n

U U

+

U

− = −

+

( )

1 1 1 .

n

2

U

−  U −

1 3 .

n

2

U −  ,

n 

 0, 

      n , n  

U

−  1  .

, 0, ⁿ

x a x a

  = ⟹ ^ln . ln n a

= x

( ) U

^?

100.000 30%

( )( )

5000 1 20 3

A

= n + + n n

150.000

0, 25.

( )

200.000 1 0, 25

T

=   −

  n

50.000

n

( )

2

1

50.000

n

4

n n

D +

= 

n

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0

4

U = ,   n