EPREUVE DE MATHEMATIQUES N°3 DU 1

MINESEC / OBC Lycée Classique d’Edéa Epreuve de Mathématiques N° 3 du 1^er Trimestre Prof : TNAM@AC2020

EPREUVE DE MATHEMATIQUES N°3 DU 1^er TRIMESTRE PARTIE A : EVALUATION DES RESSOURCES (15 points) EXERCICE 1 : (3,5 points)

1. Résous dans l’équation 1pt

2. Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct , on considère les points et d’affixes respectives et

(a) Détermine les ensembles et des points d’affixe du plan tels que :

1pt

(b) Détermine et déduis-en la nature du triangle 0,5pt

3. On donne

(a) Ecris sous forme algébrique. 0,5pt (b) Détermine tous les entiers naturels tels que soit un entier. 0,5pt (c) Justifie que les entiers ci-dessus ont le même reste dans la division par 0,5pt EXERCICE 2 : (3,5 points)

Soit la fonction définie sur par où

1. (a) Etudie les variations de 0,75pt (b) Déduis-en l’existence d’un réel positif unique tel que 0,5pt

(c) Montre que et que : 0,75pt

(d) Exprime en fonction de et de Déduis-en que 0,5pt 2. (a) Montre que la suite de terme général est convergente. On note sa limite. 0,5pt (b) Détermine , puis 0,5pt EXERCICE 3 : (4 points)

1. (a) Calcule 0,75pt (b) Applique l’algorithme d’Euclide à et Que peux-tu en déduire ? 0,5pt 2. Soit On note et les entiers naturels tels que :

(a) Que valent et Donne d’autres valeurs de et 0,5pt (b) Exprime et en fonction de et 0,5pt Ministère des Enseignements Secondaires

LYCEE CLASSIQUE D’EDEA TEL : 233 46 40 75 Mle.7HH1GSFD112218074

Année scolaire : 2020-2021 Classe : T^le C

Durée : 4h Coefficient : 7 Jeudi, 03 Décembre 2020 Prof : T. N. AWONO MESSI

Page 1 sur 2

z

−

1 3

2 + 2 i ^{z − = 1 0.}

( ^{O u v , ,} )

,

A B C z

= + 1 i , ¹ ( ¹ )

B

2

z = − + i

( ) 

( ) 

M

C A

. z = z

z

( ) 

: 2 z + − = 1 i 2 CM .

( ) 

:

1 1

2 2

z + − i 1 1

2 2 z + + i

( )

= 4

( ^, )

mes OC OA OCA .

z

n ( ) ^{2 z}

( ) ^{2 z}

^5.

1

2 2 . z =    + i   

*

. n 

g

 ^{0; +}  ( ) ^ln

n

2

g x = − + x n n x

n

. g



g

( ) 

= ^0.

1  

 e

^ln ( )

^{2 2}

^.

 = − n 

1

( )

n n

g

 

n . 

 

.



l

( )

lim ln

n



→+

l .

( ^{1 + 6} ) (

^{, 1 + 6} ) (

^{, 1 + 6} )

^.

847 342.

a

b

( ^{1 + 6} )

^{= a}

^{+ b}

⁶

a

b

? a

b

.

1

a

b

a

b

.

( )

2013

.

*

.

n

MINESEC / OBC Lycée Classique d’Edéa Epreuve de Mathématiques N° 3 du 1^er Trimestre Prof : TNAM@AC2020

(c) Démontre que, si ne divise pas alors ne divise pas non plus 0,5pt (d) Déduis-en que, quel que soit entier naturel non nul, ne divise pas 0,5pt 3. (a) Démontre que, si et sont premiers entre eux, alors et le sont aussi. 0,5pt

(b) En déduire que, quel que soit entier naturel non nul, et sont premiers

entre eux. 0,5pt EXERCICE 4 : (4 points)

A) Soit la fonction telle que : , dérivable sur et On pose pour tout ,

1. Calcule 0,25pt 2. Montre que est dérivable sur et calcule 0,75pt 3. Déduis-en que, pour tout , puis montre que 1pt B) Soit la fonction définie sur par

1. Montre que pour tout 0,5pt 2. Déduis-en que pour tout , on a : 0,5pt 3. (a) Calcule la dérivée de la fonction définie sur par 0,5pt

(b) Déduis-en la primitive , sur , de qui prend la valeur en 0,5pt

PARTIE B : EVALUATION DES COMPETENCES (5 points) SITUATION :

A chacune des lettres de l’alphabet, on commence par associer un entier (numéro d’ordre) de l’ensemble selon le tableau ci-dessous :

ISSA est un agent de renseignements d’une unité des forces spéciales d’une armée. Pour des raisons de sécurité, il communique avec sa hiérarchie à travers des « messages codés » par fax.

Pour coder un message, ISSA procède de la façon suivante : chaque lettre du message munie de son numéro d’ordre (voir tableau ci-dessus) est remplacée par la lettre de l’alphabet munie du numéro d’ordre obtenu à l’aide de la formule

ISSA dit à son fils ALI, élève en TC que : pour réussir le concours de son unité spéciale, il fallait être capable de coder, de déchiffrer les messages et surtout, déterminer la valeur de l’entier pour laquelle on a : où et ALI semble perdu.

Tâches :

1. Aide ALI à coder le mot SECRET. 1,5pt 2. Aide ALI à déchiffrer le message suivant : KGHSX. 1,5pt 3. Aide ALI à déterminer la valeur de l’entier 1,5pt Présentation : 0,5pt

Page 2 sur 2

5 a

+ b

, 5 a

+ b

.

n 5 a

+ b

.

a

b

a

b

n a

b

f ^f ( ) ^{0 = 0 f} ( ) ¹

^.

= 1 f x +

x ,

x  = I ; 2 2

−  

]

[

^{h x} ( ) ^{= f} ( ^{tan x} ) ^. ( ) ^{0 .}

h

h I ^{h x ,} ( ) ^.

( )

 , =

x I h x x ( ) ^{1 .}

4

=  f

g ^{J =}   ^{1; 2 g x ( ) = x}

^{+ 1.}

( )

, 2.

x  J g x  x  J

,

( ) ^{2 2} ( ^{1 .} )

g x −  x −

 ^ ( ) ^{x = ln} ( ^{x + x}

^{+ 1 .} )

 

: x

2

1 1

x + e 0.

26 n

 ^{0;1; 2; ; 24; 25} 

 = 

( n )

, 0 25

p   p ^{p  3 n + 7 26 .}  

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

x C =  A B A = 211 ,

B = 312

C = 133032 .

.

x