Equations diérentielles

Equations diérentielles

1 y

− y = f

Soit(E) : y⁰−y=f ; on supposef continue et intégrable surR.

1. Montrer qu'il existe une unique solutionhbornée surR.

2. Montrer quehest intégrable surRet exprimer son intégrale en fonction de celle def. Réponse

1. Unicité : la diérence entre deux solutions bornées est une solution bornée de l'équation homogène ; or x→C.e^x

n'est bornée que siC= 0.

Existence : par la méthode de variation de la constante : y(x) =e^x

C+

ˆ x a

e^−t.f(t) dt

On choisit

h(x) =−e^x

ˆ +∞

x

e^−t.f(t) dt

On vérie :

∀x∈R,|h(x)| ≤e^x

ˆ +∞

x

e^−t.|f(t)|dt

≤e^x.e^−x. ˆ +∞

x

|f| ≤ ˆ

R

|f|

hest donc bornée surR.

2. SoitA < B deux réels. ˆ B

A

h= ˆ B

A

h⁰−f =h(B)−h(A)− ˆ B

A

f On a déjà vu que

∀x∈R,|h(x)| ≤ ˆ +∞

x

|f|

ce qui prouve quehtend vers 0 en+∞. Il reste à montrer que htend vers 0 en−∞. Pour y voir plus clair, on note g(t) =|f(−t)|

et on étudie la limite en+∞de

x→e^−x. ˆ x

0

e^t.g(t) dt Fixonsε >0et x₀ tel que´+∞

x0 g≤ ^ε₂.

∀x≥x₀,0≤e^−x. ˆ x

0

e^t.g(t) dt≤C.e^−x+e^−x. ˆ x

x₀

e^t.g(t) dt≤C.e^−x+ε 2 Donc :

∃x1> x₀,∀x≥x₁, 0≤e^−x. ˆ x

0

e^t.g(t) dt≤ε Donchtend vers 0 en−∞. On en déduit que l'intégrale dehconverge et que

ˆ

R

h=− ˆ

R

f

Pour montrer quehest intégrable, il sut d'appliquer ce qui précède avec |f|à la place def. 1

2 Solution de limite nulle

Soitf ∈C(R,R)vériant

∀x∈R,|f(x)| ≤α.e^−λx avecα >0, λ >0. L'équation

u⁰⁰+u=f possède-t-elle des solutionsude limite nulle ?

Réponse

Avec la méthode de variation des constantes, une seule : u(x) = cosx.

ˆ +∞

x

f(t) sintdt−sinx.

ˆ +∞

x

f(t) costdt

3 u (0)

+ u

(0)

> 1

Soitu∈C²(R,R)bornée, telle quekuk_∞≤1, etu(0)²+u⁰(0)²>1. Montrer que

∃x∈R, u(x) +u⁰⁰(x) = 0 Réponse

Notonsv=u+u⁰⁰; on résoutu⁰⁰+u=v à l'aide de la méthode de variation des constantes. On obtient : u(x) =u(0) cosx+u⁰(0) sinx+

ˆ x 0

v(t) sin (x−t) dt

Ensuite, supposons par exemplev >0 surR; alors :

∀x∈[−π, π], u(x)≥u(0) cosx+u⁰(0) sinx

Conclusion ?

Peut-on améliorer ? Soitε >0 et

u(x) = ε+ cosx ε+ 1

On vérie quekuk_∞= 1, u(0)²+u⁰(0)²= 1, etu+u⁰⁰= _ε+1^ε ne s'annule pas.

Autre méthode On note

v=u²+u⁰²

Si par exemplev⁰(0)>0, on montre que v⁰ s'annule en un point c de R⁺ : sinon u⁰² serait minoré parv(0)−1 >0, et u ne serait pas bornée.

On choisitcminimal ;c convient.

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