Math´ematiques 3 TD 6 CUPGE 2`eme ann´ee - automne 2020
Indications pour les derniers exercices du TD 6
Exercice 1. Calculs de d´eterminants.
Calculer les d´eterminants des matrices suivantes :
1.
11 22 33 44 55 66 77 88 99
2.
11 22 33 0 55 66 77 88 99
3.
1 −2 3
4 5 6
1 2 3
4.
1 2 1 2
2 4 2 −1
−1 6 −1 6
1 8 3 2
5.
2 5 −3 2
−2 −3 2 −5
1 3 −2 2
−1 −6 4 3
Exercice 2. Calculs avec param`etres.
Calculer, pour tousa, b, c∈Cet sans d´evelopper, les d´eterminants des matrices suivantes.
1.
a−1 a−b
1 b
2.
1 +a a a
b 1 +b b
c c 1 +c
3.
a−b−c 2a 2a
2b b−c−a 2b
2c 2c c−a−b
4.
a2+b2 ab (a−b)2 c2+b2 cb (c−b)2 a2+c2 ac (a−c)2
Exercice 3. D´eterminant de Vandermonde.
Soit n>2 et α1, . . . , αn∈Ret
V(α, . . . , αn) =
1 1 . . . 1 α1 α2 . . . αn
α21 α22 . . . α2n
... ... ...
αn−11 αn−12 . . . αn−1n .
Le but de cet exercice est de montrer que
V(α1, . . . , αn) = Y
16i<j6n
(αj−αi).
1. Montrer la formule pour n= 2.
2. Soit n>3. Pourx∈R on poseP(x) =V(α1, . . . , αn−1, x). Montrer queP est un polynˆome de degr´e n−1 et de coefficient dominant V(α1, . . . , αn−1).
3. Calculer les racines de P et en d´eduire un factorisation deP. 4. Montrer la formule par r´ecurrence surn.
Universit´e Paris Diderot 1 UFR de math´ematiques
Math´ematiques 3 TD 6 CUPGE 2`eme ann´ee - automne 2020 Exercice 4. Inversibilit´e et rang d’une matrice.
1. ´Etudier, suivant la valeur du param`etre a∈R, l’inversibilit´e et le rang des matrices suivantes.
A=
a −1 0 −1
−1 a −1 0
0 −1 a −1
−1 0 −1 a
et B =
0 a a a2−a
1 a−1 2a−1 a2−a
0 a a 0
1 a 3a−1 0
.
2. Trouver, en fonction de a, une base de l’espace vectoriel engendr´e par les colonnes des matrices A etB.
Exercice 5. Matrice d’un endomorphisme et changement de base.
Soit f l’endomorphisme deR3 d´efini par la formule :
∀ x, y, z∈R f(x, y, z) = (2y+z, x−y−z,2x−z).
1. ´Ecrire la matrice Ade f dans la base canonique de R3. Calculer le d´eterminant deA.
Quel est le rang de f?
2. On poseu= (1,0,1), v= (1,−1,2) et w= (−1,1,1). Montrer que (u, v, w) est une base de R3. Ecrire la matrice´ B de f dans cette base.
3. Donner une matrice inversibleP ∈GL3(R) telle que P−1AP =B. CalculerP−1 et v´erifier la formule P−1AP =B.
Exercice 6. Un premier exemple de r´eduction.
Soit f l’endomorphisme deR3 dont la matrice dans la base canonique est A=
−3 2 −2
4 −1 2
8 −4 5
.
1. Calculer, pour toutλ∈R, le d´eterminant de la matriceA−λI3.
2. Pour quelles valeurs de λ∈R l’endomorphismef−λid est-il inversible ?
3. Trouver une base de Ker(f −id) et une base de Ker(f + id). Quelles sont les dimensions de ces sous-espaces ? Montrer que ce sont des sous-espaces vectoriels suppl´ementaires deR3.
4. Quelle est la dimension de Im(f + id) ? Donner une base de ce sous-espace et montrer que R3= Ker(f + id)⊕Im(f + id).
5. Ecrire la matrice def dans une base adapt´ee `a la d´ecomposition R3= Ker(f −id)⊕Ker(f+ id).
Exercice 7. Un deuxi`eme.
Soit f l’endomorphisme deR3 dont la matrice dans la base canonique est
12 11 5
−10 −9 −4
−6 −6 −3
. 1. Calculer le polynˆome caract´eristique de f.
2. Montrer qu’il existe une base deR3 form´ee de vecteurs propres de f.
3. Soit (e1, e2, e3) une base deR3 form´ee de vecteurs propres def. Posonsv=e1+e2+e3. Montrer que (v, f(v), f2(v)) est une base deR3. Ecrire la matrice de f dans cette base.
Universit´e Paris Diderot 2 UFR de math´ematiques
Math´ematiques 3 TD 6 CUPGE 2`eme ann´ee - automne 2020 4. Quel est le rang de f?
5. Trouver une matrice inversible P ∈GL3(R) telle queP−1AP est diagonale.
Exercice 8. Un exemple o`uK=C.
Soit f l’endomorphisme deC3 dont la matrice dans la base canonique est
4 −5 7 1 −4 9
−4 0 5
. 1. Calculer le polynˆome caract´eristique de f.
2. Montrer que l’endomorphismef est diagonalisable surC. Solution de l’exercice 8.
1. On trouvePf(x) = (x−1)(x2−4x+ 13).
2. Pf admet trois racines distinctes : 1,2 + 3i et 2−3i (les deux derni`eres ´etant trouv´ees en r´esolvant l’´equation du second degr´ex2−4x+ 13 = 0). On a trois racines de multiplicit´e 1, donc n´ecessairement les dimensions des espaces propres sont ´egales aux multiplicit´es des racines (elles sont au moins 1), et donc l’endomorphisme est diagonalisable.
Exercice 9. Un dernier exemple avecK=Rpour la route.
Soit f l’endomorphisme deR3 dont la matrice dans la base canonique est
0 5 −2
0 −7 3
−1 −16 7
.
1. Calculer le polynˆome caract´eristique de f et dresser son tableau de variation.
2. Montrer quef est diagonalisable sur R. Solution de l’exercice 9.
1. On trouveP(x) =−x3+ 3x−1.
2. Comme dans l’exercice pr´ec´edent il suffit de montrer queP a trois racines distinctes car degPf = 3 et alors les dimensions des espaces propres seront ´egales multiplicit´es. Calculons la d´eriv´ee de P : P0(x) = −3x2 + 3, qui s’annule en 1 et en −1. On a P(1) = 1, P(−1) = −5, or limx→−∞P(x) = +∞, limx→+∞P(x) = −∞, donc par le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires (appliqu´e sur les intervalles ]− ∞,−1],[−1,1] puis [1,+∞[)P a trois racines distinctes. Notons qu’on n’a pas besoin de les calculer explicitement pour r´epondre `a la question !
Exercice 10. Matrice circulante.
Soit E unC-espace vectoriel de dimension 4. Soit (e1, e2, e3, e4) une base deC. On notef l’endomor- phisme deE dont la matrice dans cette base est
A=
0 0 0 2 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0
.
1. Calculer les valeurs propres def.
2. Montrer qu’il existe une base de E form´ee de vecteurs propres de f, et ´ecrire la matrice de f dans cette base.
Universit´e Paris Diderot 3 UFR de math´ematiques
Math´ematiques 3 TD 6 CUPGE 2`eme ann´ee - automne 2020 3. CalculerAn pour toutn∈N.
Solution de l’exercice 10.
1. On trouvePf(x) =x4−16, donc les 4 racines sont 2,2i,−2 et 2i.
2. Chaque racine ´etant de multiplicit´e 1, et le polynˆomePf ´etant scind´e,fest diagonalisable (mˆeme raisonnement qu’aux deux exercices pr´ec´edents). Donc d’apr`es le cours il existe une base de E form´ee de vecteurs propres de f, dans la quelle f a pour matrice la matrice diagonale
B =
2 0 0 0
0 −2 0 0
0 0 2i 0
0 0 0 −2i
.
3. On calcule explicitement une base de vecteurs propres, par exemple
B0 = (e1+e2+e3+e4, e1+ie2−e3−ie4, e1−e2+e3−e4, e1−ie2−e3+ie4).
Si on note P la matrice de B0 dans B, on a A =P BP−1, et on a An = P BnP−1 (preuve par r´ecurrence). Or
Bn= 2n
1 0 0 0
0 (−1)n 0 0
0 0 (i)n 0
0 0 0 (−i)n
.
On pourrait alors donner une formule explicite pour An en calculant l’inverse de P. Mais un calcul des premi`eres puissances de A (pourn allant de 1 `a 5) aurait pu nous faire conjecturer une formule assez simple directement, formule que l’on pourrait ensuite montrer par r´ecurrence directement.
Universit´e Paris Diderot 4 UFR de math´ematiques
