DM de MPSI2
Devoir non surveill´ e
Exercice 1 : Groupes de racines de l’unit´ e
On noteU le groupe des nombres complexes de module 1, et, pour toutn∈N∗,Un le groupe des racines n-i`emes de l’unit´e.
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a Soit (G,·) un groupe fini commutatif d’ordren, d’´el´ement neutreeG. Montrer que pour tout g ∈G, gn =eG.
b SoitGun sous-groupe fini deU. Montrer l’existence den∈N∗ tel queG=Un. 2Soitm, n∈N∗.
a Montrer queUm⊂Un si et seulement simdivisen.
b Montrer queUm∩Un=Um∧n.
c Montrer que le sous-groupe deUengendr´e1 parUm∪Un est Um∨n. 3Soitpun nombre premier et Gp =S
n∈NUpn. a Montrer queGp est un sous-groupe deU.
b Montrer queGp est infini, mais que tous ses sous-groupes propres (i.e.distincts deGp) sont finis.
c On dit qu’un sous-groupe propre H deGp est maximal si les seuls sous-groupes deGp contenant H sontH et Gp. Montrer queGp n’admet pas de sous-groupe (propre) maximal.
1. i.e.le plus petit sous-groupe (pour l’inclusion) deUcontenantUmetUn
