Exercice 1 : Groupes de racines de l’unit´ e

DM de MPSI2

Corrig´ e de devoir non surveill´ e

Exercice 1 : Groupes de racines de l’unit´ e

1

a Fait en TD.

b Notonsnl’ordre de G. D’apr`es la question pr´ec´edente, pour toutx∈G,xⁿ = 1 (car le groupeGest ab´elien), doncG⊂Un. Comme ces ensembles ont mˆeme cardinaln, G=Un.

2

a Supposons quemdivise n:n=mk pour un certain entierk. Soit x∈Um:xⁿ =x^mk = (x^m)^k = 1, doncx∈Un, puisUm⊂Un.

R´eciproquement, supposonsUm⊂Un. En particulier,e^2iπ/m∈Un, i.e.e^2iπn/m= 1, doncmdivisen.

b Commem∧ndivisemetn, on a Um∧n⊂Um∩Un.

R´eciproquement, soitx∈Um∩Un, i.e.x^m =xⁿ = 1. Soit mu+nv =m∧n une relation de B´ezout pour (m, n). Il vient :

x^m∧n=x^mu+nv = (x^m)^u(xⁿ)^v= 1, i.e.x∈Um∧n, d’o`u l’inclusion r´eciproque, puis l’´egalit´e.

c m∨n ´etant un multiple commun `a m et `a n, Um∨n contient `a la fois U<sup>m</sup> et U<sup>n</sup>. C’est aussi un sous-groupe de U. Soit Gun sous-groupe de UcontenantUm et Un. Soit x∈Um∨n, i.e.x<sup>m∨n</sup> = 1. ´Ecrivons m= (m∧n)m<sup>0</sup> et n= (m∧n)n<sup>0</sup>, o`um⁰ et n⁰ sont des entiers premiers entre eux. On am⁰n=mn⁰=m∨n.

Soitum⁰+vn⁰= 1 une relation de B´ezout entrem⁰ etn⁰. On a (x^m0)ⁿ=x^m0n=x^m∨n = 1,

soitx^m0 ∈Un et, de mˆeme,xⁿ⁰ ∈Um:x^m0 etxⁿ⁰ sont des ´el´ements du groupeG, doncx=x^um0+vn0 aussi.

Um∧n est bien le sous-groupe engendr´e par Um∪Un.

Remarque :bien sˆur, pour ces deux derni`eres questions, on pouvait utiliser 1.b et 2.a, en s’assurant au pr´ealable que les sous-groupes consid´er´es ´etaient bien finis.

3

a Gp est bien sˆur une partie non vide deU. Soitg, h∈Gp,n, m∈Ntels queg ∈Up^m et h∈Upⁿ. En posantk= max(m, n), on a g, h∈Up^k, doncgh⁻¹∈Up^k ⊂Gp.

Gp est bien un sous-groupe deU.

b Soitn∈N.Gp contientUpⁿ et a donc au moinspⁿ ´el´ements. Ceci valant pour tout entier natureln, Gp est infini.

Soit H un sous-groupe propre de G_p : il existe un ´el´ement w de G_p queH ne comprend pas. Soit n₀ un entier tel quew^pn0 = 1.

Soit h ∈ H, et n₁ le plus petit entier tel que h^pn1 = 1. On a Upⁿ1 ⊂ H, par minimalit´e de n₁. Or, w n’appartenant pas `a H, Upⁿ0 n’est pas inclus dans Upⁿ1, donc n₀ > n₁. Ceci prouve l’inclusion de H dans Upⁿ0−1, et, partant, le fait qu’il soit fini.

c SoitH un sous-groupe propre de Gp. D’apr`es la question pr´ec´edente,H est fini, inclus dans un sous- groupeUpⁿ, et donc strictement inclus dans le sous-groupe propreUpⁿ⁺¹ :H n’est pas maximal.

Gp n’admet pas de sous-groupe (propre) maximal.