Exercice 1 :
Résoudre dans R l’équation (E) :
(
2x−1)
2 +x(1−2x)=4x2 −1Exercice 2 :
Résoudre dans R les équations : 2 4 1
2 −
= − + x
x
x ; 2
1 5
3
2 =
− + x
x ;
5
3 x
x = ; 2
1 1
1 =
+ + x x
Exercice 3 :
Trouver trois entiers consécutifs dont la somme des carrés vaut 15125 Exercice 4 :
Un nénuphar se trouve à 10cm au-dessus de la surface de l’eau. Si on le tire de côté, il disparait à 21cm de l’endroit où il se trouvait. Quelle est la profondeur de l’eau ?
Modélisation : Le nénuphar décrit un arc de cercle de centre P (Pied du nénuphar) et de rayon égale à la longueur de la tige du nénuphar, pour disparaître en N’ à 21 cm du point E.
Exercice 5 :
La droite (CM) partage le trapèze ABCD en deux parties d’aires égales. Calculer AM sachant que cm
AB=40 etCD=28cm
Corrigé 1 :
( ) ( )
( )
( )( )
( )
-2 ou x 2 x 1
0 2 - x - ou 0 1 2
0 2 - x - 1) - (2x
0 1 2 1
2 1 - 2x
0 ) 1 2 )(
1 2 ( ) 1 2 ( 1 2
) 1 2 )(
1 2 ( ) 1 2 ( 1 2 1 4 ) 2 1 ( 1 2
2 2 2
2
=
=
⇔
=
=
−
⇔
=
⇔
=
−
−
−
−
⇔
= +
−
−
−
−
−
⇔
+
−
=
−
−
−
⇔
−
=
− +
−
x
x x x
x x
x x x
x x
x x x
x x x x
On a donc
−
= 2
;1 2 S
Corrigé 2 :
Pour la première équation, il faut x≠−2etx≠2.
( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
( )( )
1 ou x 2
0 2 2x ou 0 2 x
0 2 2 2
0 2
2 x
0 2 2
2
2 2
2
2 4 4
2
1 2
2
=
−
=
⇔
=
−
= +
⇔
=
− +
⇔
= +
− +
⇔
= + + +
−
⇔
+
−
= +
−
⇔
+
−
=
−
− ⇔
= − +
x
x x
x x
x x x
x
x x x
x
x x x x
x x
On a donc S =
{}
1Pour la deuxième équation, il faut 5
≠ 1 x
( )
8 x 5
5 8
2 - 10x 3 2x
1 5 2 3 2 1 2
5 3 2
=
⇔
=
⇔
= +
⇔
−
= +
⇔
− = +
x
x x x
x
On a donc
= 8 S 5
Pour la troisième équation, il faut x≠0
15 - ou x 15 x
15 x
5 5 3
3
2 2
=
=
⇔
=
⇔
×
=
⇔
= x x x
On a donc S =
{
− 15; 15}
Pour la quatrième équation, il faut x≠0etx≠−1
( ) ( )
( )
2 2 2
ou x 1 2
2 2 x 1
2 x 1
0 1 2x
) 0 1 (
1 2x -
) 0 1 (
1 x 2x - 1 2x
0 1 2
1 2 1
1 1 1
2 2 2
−
=
−
=
=
=
⇔
=
⇔
= +
−
⇔ + =
⇔ +
+ = +
⇔ +
= + −
+ +
⇔ + + =
+
x x
x x
x x
x x
x x x
x
On a donc
−
= 2
; 2 2 S 2
Corrigé 3 :
Soit x un entier. x−1,xetx+1sont donc trois entiers consécutifs.
On veut donc :
(
x−1)
2 +x2 +(
x+1)
2 =15125Or
(
x−1)
2 +x2 +(
x+1)
2 = x2 −2x+1+x2 +x2 +2x+1=3x2 +2On est donc ramené à résoudre 3x2 +2=15125
71 5041 ou x
71 5041 x
5041 x
15123 3
15125 2
3
2 2 2
−
=
−
=
=
=
⇔
=
⇔
=
⇔
=
+ x
x
On peut donc prendre par exemple les trois entiers consécutifs 70,71 et 72 et on a bien 702 +712 +722 =15125
Corrigé 4 :
Soit h la hauteur de l’eau. On a donc h=PE
On au aussi PN'= PN =PE+EN =h+10etEN'=21 Le triangle EPN’ est rectangle en E.
D’après le théorème de Pythagore, on a :
( )
05 , 20 17 341
341 20
441 100
20
21 10
' '
2 2
2 2 2
2 2
2
=
=
=
+
= + +
+
= +
+
=
h h
h h
h
h h
EN EP PN
La hauteur de l’eau est de 17,05cm.
Corrigé 5 :
Soit h la hauteur du trapèze. On a
( )
2 h AM
AAMCD = DC+ × et
2 h AMBC = MB×
Or AAMCD = AMBC donc
( )
2 2
h MB h AM
DC+ × = ×
. On en déduit donc que CD+AM =MB(1)
Or M ∈
[ ]
AB donc AM +MB= ABd’où MB= AB−AMD’après (1), on a CD+AM = AB−AM. Ainsi, 2AM = AB−CDdonc AB CD cm
AM 6
2 28 40
2 = − =
= −
