Arithmétique et ensemble de nombres
Exercice 1
Parmi les nombres suivants, donner les multiples de 5 , les multiples de 17 et les multiples de 6 . Justifier.
a. 10 ; b. 85 ; c. 510 ; d. 28 ;
e. 34 ; f. 60 ; g. 72 ; h. 97.
Exercice 2
On considère les nombres a=35 et b=25 . 1. Donner un multiple de a et un multiple de b.
2. Donner un nombre qui est multiple simultanément de a et b.
3. Parmi tous les nombres strictement positifs qui sont multiples simultanément de a et b, quel est le plus petit ?
Exercice 3
On considère les nombres a=24 et b=18 . 1. Donner un multiple de a et un multiple de b.
2. Donner un nombre qui est multiple simultanément de a et b.
3. Parmi tous les nombres strictement positifs qui sont multiples simultanément de a et b, quel est le plus petit ?
Exercice 4
Dans chaque cas, donner tous les diviseurs de chacun des deux nombres, puis déterminer les diviseurs communs. Parmi ceux-là, en déduire le plus grand diviseur commun aux deux nombres.
a. 15 et 35 ; b. 60 et 40 ; c. 45 et 64 ; d. 270 et 180.
Exercice 5
Dans chaque cas, chercher le plus grand diviseur commun au numérateur et au dénominateur, puis mettre la fraction sous forme irréductible.
a. 45
20 ; b. 63
42 ; c. 121
56 ; d. 51
85 .
Exercice 6
Simplifier chacune des fractions suivantes.
a. 48
56 ; b. 56
63 ; c. 63
48 ; d. 650
800 .
Exercice 7
Trouver tous les diviseurs premiers des nombres suivants.
a. 21 ; b. 56 ; c. 256 ; d. 301.
Exercice 8
1. Déterminer la liste de tous les nombres premiers compris entre 1 et 30.
2. Parmi ces nombres, quels sont ceux qui sont pairs ? 3. Existe-t-il d'autres nombres premiers pairs ? Justifier.
Exercice 9
Décomposer chacun des nombres suivants en produit de facteurs premiers.
a. 215 ; b. 507 ; c. 1868 ; d. 1431.
Exercice 10
Pour chaque nombre entier, indiquer s’il est premier ou donner sa décomposition en produit de facteurs premiers.
a. 32 ; b. 59 ; c. 115 ; d. 187.
e. 227 ; f. 303 ; g. 503 ; h. 667.
Exercice 11
1. Décomposer 2261 et 323 en produits de facteurs premiers.
2. Simplifier la fraction 2261 323 . 3. Effectuer 2261
323 + 7 49 .
Exercice 12
1. Démontrer que si un entier est multiple de 15, alors il est aussi multiple de 3 et de 5.
2. La réciproque semble-t-elle vraie ? Exercice 13
1. 35 et 6300 sont-ils divisibles par 7 ? Justifier.
2. En utilisant la question précédente, démontrer que 6335 est divisible par 7.
3. Démontrer, dans le cas général, que si x et y sont deux nombres entiers divisibles par 7 alors leur somme x+y est divisible par 7.
4. En écrivant le nombre 6349147 comme une somme de quatre multiples de 7, démontrer que 6349147 est un multiple de 7.
Exercice 14
Démontrer que le produit de deux entiers consécutifs est toujours pair.
Exercice 15
La conjecture de Goldbach affirme que « tout nombre pair supérieur ou égal à 4 est la somme de deux nombres premiers ».
1. Vérifier cette conjecture pour tous nombres pairs de l'intervalle [10 ;20]. 2. Trouver tous les nombres premiers p et p' tels que 100=p+p' .
Exercice 16
Soit a et a' deux nombres impairs. Montrer que a2+a'2 est un nombre pair.
Exercice 17
Soit a un entier relatif. Démontrer la proposition suivante : « Si a est pair, alors a2 est pair ».
Exercice 18
Soit a un nombre impair. Démontrer que a3 est un nombre impair.
Exercice 19
Déterminer, en justifiant, si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse.
1. Tout nombre entier strictement positif a un nombre pair de diviseurs.
2. Il y a plus de nombres premiers entre 20 et 30 qu'entre 40 et 50.
3. Un diviseur d'un nombre premier est forcément premier.
Exercice 20
Une crèche dispose de 60 dalles carrées en mousse. Elle souhaite les placer de manière à former un rectangle.
1. Quelles sont les dimensions possibles de ce rectangle ? 2. Quel est celui qui a le plus grand périmètre ?
Exercice 21
Lors d'un tournoi de pétanque, il y a 80 hommes et 60 femmes inscrits. L'organisation veut constituer un maximum d'équipes mixtes contenant toutes le même nombre d'hommes et le même nombre de femmes. Combien d'équipes peuvent être constituées ?
Exercice 22
Compléter à l'aide des symboles ∈, ∉, ⊂ ou ⊄. a. −1 …. [−1; 2[ ; b. −2
3 …. ]−∞;−1[ ; c. 2 …. {2; 3} ;
d. 5, 9 …. ]5 ,8 ;+∞[ ; e. 7 …. ]0 ;7[ ; f. ]−3;8] …. [−3;10[ ; g. −11
14 ….
]
−67;−57
[
; h. ]−∞; 0[…. ℝ. i. ℤ …. ℕ.Exercice 23
Placer sur la droite numérique les nombres suivants de façon exacte : 3 ; −1 , 5 ; 5
4 ; −2
5 ;
√
2.Exercice 24
Quel est le plus petit ensemble de nombres auquel appartient chacun des nombres suivants ? a. 1
2 ; b.
√
5 ; c. 10−43 ; d. −
√
16.Exercice 25
Quel est le plus petit ensemble de nombres auquel appartient chacun des nombres suivants ? a. 1
2+1 3+1
6 ; b.
√
16−√
25 ; c. 342 −
√
289 ; d. 917 .
Exercice 26
Soit n un entier naturel. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est fausse ou toujours vraie. Si elle est fausse, donner un contre exemple et donner le plus petit ensemble qui la rende toujours vraie.
a. 2n+1∈ℕ ; b. 2n+1∈ℚ ; c. 3n−7∈ℕ ;
d. n−6
2 ∈ℤ ; e. n+1
√
2 ∈ℝ ; f.√
n∈ℚ.Exercice 27
Dans chaque cas, trouver, si cela est possible, un nombre x qui remplit les critères suivants.
a. x∈ℚ et x∉ℕ ; b. x∈ℚ et x∉ ℤ ; c. x∈ℝ et x∉ℚ ; d. x∈ℚ et x∉ℝ.
Exercice 28
Lesquels de ces nombres sont décimaux ? a. −5 ; b. 5
7 ; c. 3
40 ; d. 40
3 .
Exercice 29
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est toujours vraie. Si elle est fausse, donner un contre-exemple.
1. La différence de deux nombres entiers naturels est un entier naturel.
2. Le quotient de deux nombres décimaux est un nombre décimal.
3. Le quotient de deux nombres réels est un nombre rationnel.
4. Le produit d'un nombre rationnel par un nombre entier relatif est un nombre rationnel.
Exercice 30
Le professeur de mathématiques propose l'affirmation suivante : « Le produit de deux nombres irrationnels est toujours un nombre rationnel ».
Émilie répond : « Vrai, par exemple,
√
2×√
2=2∈ℚ ».Marc répond : « Faux, par exemple,
√
5×√
2∉ℚ ».Quel élève a raison ?
Exercice 31
On considère un cercle dont le périmètre est rationnel. Prouver que son diamètre est nécessairement irrationnel.
Exercice 32
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
1. Le quotient de deux nombres premiers distincts peut être un entier relatif.
2. Le quotient de deux nombres premiers distincts peut être un nombre décimal.
Exercice 33
Trouver deux nombres irrationnels différents dont le produit est un nombre irrationnel.
Exercice 34
La somme de quatre multiples consécutifs de 7 est égale à 406. Quels sont ces quatre entiers ?
Exercice 35
Soit n un entier naturel.
1. Démontrer que si n est impair, alors 8 divise n2−1 . 2. Le nombre 1+3n est-il toujours pair ?
3. Démontrer que 2n+2n+1 est divisible par 3.
Exercice 36
Démontrer que (a+b)3=a3+3a2b+3a b2+b3.
Problèmes
Problème 1 Partie A
Un paysagiste doit planter des peupliers autour d'un terrain rectangulaire de longueur 377 mètres et de largeur 232 mètres. Il doit régulièrement les espacer et planter un arbre à chaque coin du
terrain.
1. Calculer la distance maximale qui doit séparer deux peupliers.
2. En déduire, dans ce cas, le nombre d'arbres que le paysagiste doit planter.
Partie B
Pour être maintenu verticalement, chaque peuplier est attaché à un poteau qui dépasse du sol de 2 , 4 mètres. Chaque poteau est lui-même maintenu au sol par des câbles. On a mathématisé la situation en représentant la figure ci-dessous (qui n'est pas en vraie grandeur).
Le segment [AB] représente le poteau. Les segments [AE], [CD] et [AF] représentent les câbles.
Pour faciliter les calculs, l'unité choisie est le décimètre. On donne : AB=24 et BE=12 . Le point C du segment [AB] est tel que BC= 2
3AB . D est un point du segment [EB] et les segments [CD] et [AE] sont parallèles.
1. a. Calculer la longueur BC . b. Démontrer que BD
BE=2
3 . En déduire la longueur BD .
2. a. Calculer la valeur exacte de AE . Écrire le résultat sous la forme a
√
5, où a est un entier.b. Démontrer que CD=8
√
5.c. Calculer la longueur de câble nécessaire pour maintenir tous les peupliers (arrondir au mètre).
3. Calculer la mesure de l'angle ̂BAE , arrondie au degré.
Problème 2
L’escalier d’une tour a un nombre de marches compris entre 130 et 150. Si je les monte trois par trois, j’arrive en haut. Si j’étais capable de les monter 4 par 4, je finirais par une marche.
Combien y a-t-il de marches ?
Problème 3
1. Justifier que x=0, 999… est solution de l'équation 10x−9=x . 2. Résoudre 10x−9=x.
3. Conclure.
Problème 4
Le but de cet exercice est de tracer un segment de longueur
√
10cm en employant une méthode géométrique et sans avoir recours à la calculatrice.P , A et B sont trois points alignés dans cet ordre. I est le milieu du segment [AB]. C1 est le cercle de diamètre [AB]. On notera r son rayon.
C2 est le cercle de diamètre [IP].
M est l'un des points d'intersection de C1 et de C2 .
1. Démontrer que le triangle IMP est rectangle en M .
2. a. Exprimer les longueurs PA et PB en fonction de PI et r . b. En déduire l'expression de PA×PB en fonction de PI et r .
3. En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle IMP rectangle en M , déterminer l'expression de PM2 en fonction de PI et r .
4. En déduire que PM=
√
PA×PB .5. a. Réaliser une figure dans le cas où PA=2cm et PB=5cm.
b. Nommer dans ce cas un segment de la figure de longueur
√
10cm.Problème 5
ABCDEFGH est un cube d’arête 4cm. 1. Calculer la valeur exacte de GD et écrire le résultat sous la forme a
√
2 entier.2. Quel est le périmètre du triangle BDG ? Donner la réponse sous la forme a
√
2.3. Calculer la valeur exacte de GK . 4. Calculer l’aire du triangle BGD . Donner la valeur exacte puis une valeur arrondie au centième.
