A329. Indépendants et solidaires
Deux entiers naturels sont considérés comme indépendants s’ils sont relativement pre- miers entre eux (i.e. leurPGC Dest égal à 1).
Les nombres entiers d’un ensembleE sont considérés comme solidaires si la moyenne arithmétique des éléments de n’importe quel sous-ensemble deEest elle-même un nombre entier.
Démontrer que pour toutn>1, on sait trouver un ensemble denentiers tous indépen- dants deux à deux et en même temps tous solidaires.
Solution de Claude Felloneau
Pourn=2, il suffit de prendreE={1, 3}.
Soitnun entier naturel strictement supérieur à 2. On pose : m=P PC M(1, 2, 3, ..., (n−1))
E={a1,a2, ...,an} avecai=1+i mpour touticompris entre 1 etn.
1. Les entiersa1,a2, ...,ansont indépendants deux à deux.
En effet, pour 16i<j6n: PGC D¡
ai,aj
¢=PGC D¡
ai,aj−ai
¢=PGC D¡
1+i m, (j−i)m¢
=PGC D¡
1+i m, (j−i)¢ carPGC D(1+i m,m)=1. Or 16 j−i <n, donci m est un multiple de j−i et PGC D¡
1+i m, (j−i)¢
=PGC D¡
1, (j−i)¢
=1.
2. Les entiersa1,a2, ...,ansont tous solidaires.
En effet, pour toute partieFdeE, la sommeSF des éléments deFest congrue àj modulomoùjest le nombre d’éléments de F.
Sij<n,jdivisem, doncSF≡0 (j).
Si j=netnn’est pas premier, j est le produit de deux entiers premiers entre eux strictement inférieurs àndoncjdivisemetSF≡0 (j).
Sij=netnest premier,SF=n+n(n+1)
2 m. Ornest impair doncSF≡0 (n).
Dans tous les cas, la moyenne arithmétique des éléments deFest donc un entier.
