Introduction a l'analyse numerique

(1)

T R O N C C O M M U N

Introduction a l'analyse numerique

Rachid Touzani

Octobre 2013

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(3)

i

Ces notes constituent l’essentiel du cours dispensé à l’ École Polytech Clermont-Ferrand en première année. Le cours est enseigné en Tronc Commun ; il est donc destiné aux élèves de tous les départements. Il a pour but de faire connaissance avec les notions élémentaires de l’Analyse Numérique dans le but de former des utilisateurs “avertis” des méthodes d’approximation numérique dans les sciences de l’ingénieur.

Ce cours suppose la connaissance de notions élémentaires de l’algèbre linéaire sur les matrices et les vecteurs ainsi que les notions simples de l’analyse et de l’algèbre linéaire : matrices et vecteurs, fonctions, dérivées, formule de Taylor, . . .

Ces notes de cours ne contiennent que peu d’exemples ou de figures. Plusieurs exemples et figures seront pr´esent´es lors du cours magistral.

R. TOUZANI

(4)

(5)

Table des mati`eres

1 Méthodes directes de résolution des systèmes linéaires. . . 1

1.1 M´ethode d’´elimination de Gauss . . . 1

1.2 Factorisation LU d’une matrice . . . 4

1.3 Matrices sym´etriques d´efinies positives : factorisation de Cholesky . . . 6

2 Méthodes itératives de résolution des systèmes linéaires . . . 9

2.1 Convergence des m´ethodes it´eratives . . . 9

2.2 Quelques m´ethodes it´eratives . . . 11

2.2.1 M´ethode de Jacobi . . . 11

2.2.2 M´ethodes de Gauss–Seidel et de relaxation . . . 11

2.3 Matrices sym´etriques d´efinies positives . . . 12

2.4 Matrices `a diagonale dominante . . . 12

2.5 Remarques et conclusions . . . 14

3 Interpolation et approximation de fonctions. . . 15

3.1 Interpolation de Lagrange . . . 15

3.1.1 Base de Lagrange . . . 16

3.1.2 Erreur d’interpolation . . . 16

3.1.3 Calcul du polyn ˆome de Lagrange . . . 17

3.2 Approximation au sens des moindres carr´es . . . 19

4 D´erivation num´erique . . . 21

4.1 Introduction . . . 21

4.2 Erreur d’arrondi . . . 21

4.3 Erreur de troncature . . . 22

5 Int´egration num´erique. . . 25

5.1 Généralités . . . 25

5.2 Méthodes d’intégration numérique par morceaux . . . 27

5.2.1 Formules des rectangles . . . 27

5.2.2 Formule des trap`ezes . . . 29

(6)

iv Table des mati`eres

5.2.3 Formule de Simpson . . . 30

6 Résolution d’équations algébriques non-linéaires . . . 33

6.1 Généralités . . . 33

6.2 Points fixes . . . 34

6.3 Cas d’une ´equation non-lin´eaire . . . 35

6.3.1 M´ethode de la bisection ou dichotomie . . . 35

6.3.2 M´ethode Regula Falsi ou “fausse position” . . . 36

6.3.3 M´ethode de Newton . . . 36

6.4 Cas d’un syst`eme d’´equations . . . 37

7 Schémas numériques pour les équations différentielles . . . 39

7.1 Introduction . . . 39

7.2 M´ethodes d’Euler . . . 40

7.2.1 Le sch´ema d’Euler progressif . . . 41

7.2.2 Sch´ema d’Euler r´etrograde . . . 43

7.2.3 Sch´ema de Crank-Nicolson . . . 43

7.3 Autres sch´emas num´eriques . . . 44

7.3.1 M´ethodes bas´ees sur la formule de Taylor . . . 44

7.3.2 M´ethodes de Runge-Kutta . . . 45

7.4 Syst`emes diff´erentiels d’ordre 1 . . . 45

7.5 ´Equations diff´erentielles d’ordre 2 . . . 45

R´ef´erences. . . 47

(7)

1 Méthodes directes de résolution des systèmes linéaires

SoitAune matrice carrée d’ordren à coefficients réels inversible et soitbunn–vecteur (b∈ Rⁿ). On cherche un vecteurx∈Rⁿtel que

Ax=b.

On suppose que la matriceA, de coefficients(a_ij)est inversible,i.e., qu’il existe une matrice not´eeA⁻¹, ditematrice inverse deA, telle que

A A⁻¹=A⁻¹A=I, I:Matrice identit´e.

De plus, on sait que la matriceAest inversible si et seulement la seule solution du syst`eme Ax= 0estx= 0.

1.1 M´ethode d’´elimination de Gauss

Nous allons illustrer cette méthode sur un exemple particulier. Soit le système linéaire :

2x1+ 4x2+ 6x3= 2, (1.1)

3x1+ 8x2+ 13x3= 5, (1.2)

2x₁+ 9x₂+ 18x₃= 11. (1.3)

On cherche à éliminer successivement les inconnuesx₁, x₂, x₃. En divisant l’équation (1.1) par 2, on obtient :

x1+ 2x2+ 3x3= 1 (1.4)

En multipliant (1.4) par 3 (resp. 2) et en retranchant le r´esultat de (1.2) (resp. (1.3)) on obtient successivement :

2x2+ 4x3= 2, (1.5)

5x₂+ 12x₃= 9. (1.6)

(8)

2 1 Méthodes directes de résolution des systèmes linéaires

On a ainsi, lors de cette première étape, éliminé la variablex1. Continuons ainsi ; nous obtenons :

2x3= 4; soitx3= 2.

Pour calculerx₂, on a l’équationx₂+ 2x₃= 1; ce qui nous donnex₂=−3. La valeur dex₁ peut être calculée dans (1.4). Ainsi

x₁= 1−2x₂−3x₃= 1.

Nous disons alors que la résolution se fait parremontée. Les différentes étapes de transfor- mation du système linéaire précédent peuvent être illustrées comme suit :

A⁽¹⁾



 x₁ x₂ x3



=





2 4 6 3 8 13 2 9 18







 x₁ x₂ x3



=



 2 5 11



=b⁽¹⁾

A⁽²⁾



 x1

x2

x3



=





1 2 3 0 2 4 0 5 12







 x1

x2

x3



=



 1 2 9



=b⁽²⁾

A⁽³⁾



 x1

x2

x3



=





1 2 3 0 1 2 0 0 2







 x1

x2

x3



 =



 1 1 4



=b⁽³⁾

Cette procédure peut être étendue au cas général (nquelconque). La méthode de Gauss peut ainsi être résumée en trois étapes :

(i) Élimination successive des inconnues ; ce qui équivaut à trouver une matrice inversible M telle que la matriceM Asoit triangulaire supérieure ;

(ii) calcul simultan´e du vecteurM b;

(iii) résolution du système linéaireM Ax=M b.

D´etaillons l’´elimination de Gauss dans le cas d’unen×n–matrice inversible quelconque : On note tout d’aborda⁽¹⁾_ij :=aij les coefficients deA.

1êrpas: Le coefficienta⁽¹⁾₁₁ est appelépivotau premier pas. On supposea⁽¹⁾₁₁ 6= 0et on pose p⁽¹⁾:= 1/a⁽¹⁾₁₁. On obtient au premier pas le système linéaire transformé :







1 a⁽²⁾₁₂ a⁽²⁾₁₃ . . . a⁽²⁾_1n 0 a⁽²⁾₂₂ a⁽²⁾₂₃ . . . a⁽²⁾_2n ... ... . .. ... ... 0a⁽²⁾_n−1,2 . . . a⁽²⁾_n−1,n−1a⁽²⁾_n−1,n 0 a⁽²⁾_n,2 . . . a⁽²⁾n,n











 x1

x2

... ... xn







=





 b⁽²⁾₁ b⁽²⁾₂ ... ... b⁽²⁾n







avec

(9)

1.1 M´ethode d’´elimination de Gauss 3

a⁽²⁾_1j =p⁽¹⁾a⁽¹⁾_1j, j= 1, . . . , n, b⁽²⁾₁ =p⁽¹⁾b⁽¹⁾₁ ,

a⁽²⁾_kj =a⁽¹⁾_kj −a⁽¹⁾_k1a⁽²⁾_1j, j= 2, . . . , n, b⁽²⁾_k =b⁽¹⁾_k −a⁽¹⁾_k1b⁽²⁾₁ ,

)

k= 2, . . . , n.

On obtient ainsi après la première étape le systèmeA⁽²⁾x=b⁽²⁾. Dans ce système, l’inconnue x1a été éliminée. Ainsi, à lakê étape nous aurons une matriceA^(k)de la forme :

A^(k)=







× × × × . . . .× 0 × . . . × . . . ... 0 0 × . . . ... 0 . . . 0 × . . . ... ... . . . ... ... . .. . . . ... 0 . . . 0 × . .. ...

0 . . . 0 × . . . .×







←k^eligne

L’algorithme d’´elimination s’´ecrit :

Pour k= 2 `a n faire Pour i=k `a n faire

s:=a^(k−1)_i,k−1/a^(k−1)_k−1,k−1; Pour j=k `a n faire

a^(k)_ij :=a^(k−1)_ij −s∗a^(k−1)_k−1,j; fin j;

b^(k)_i :=b^(k−1)_i −s∗b^(k)_k−1; fin i;

fin k.

Nous pouvons faire les remarques suivantes :

1. Pour que la méthode de Gauss ait un sens, il faut que les pivots successifsa^(k)_kk ne soient pas nuls. Autrement, on adopte une stratégie depivotage,i.e., on peut échanger des lignes de la matrice.

2. Du point de vue programmation, un examen minutieux de la méthode montre que le coefficienta^(k)_ij peut occuper le même espace mémoire quea^(k−1)_ij . Il ne serait donc pas raisonnable de stocker en mémoire les différents coefficientsa^(k)_ij ,k = 1,2, . . . étapes de l’élimination.

(10)

1.2 Factorisation LU d’une matrice

Supposons que tous les pivots sont non nuls. L’´elimination de Gauss permet de construire une suite de matrices

A⁽¹⁾=A, A⁽²⁾=E⁽²⁾A⁽¹⁾, A⁽³⁾=E⁽³⁾A⁽²⁾, . . . , A⁽ⁿ⁾=E⁽ⁿ⁾A⁽ⁿ⁻¹⁾,

o ù les matricesE^(k)sont triangulaires inférieures. Dans l’exemple du système (1.1)–(1.3), on a

E⁽²⁾=







−¹₂ 0 0

−³₂ 1 0

−1 0 1





, E⁽³⁾=







1 0 0 0 ¹₂ 0 0−⁵₂ 1





. Ainsi

A⁽ⁿ⁾=E⁽ⁿ⁾E⁽ⁿ⁻¹⁾. . . E⁽²⁾A⁽¹⁾.

Donc, la matriceL= (E⁽ⁿ⁾. . . E⁽²⁾)⁻¹est triangulaire inférieure. On dit alors qu’on a effectué unefactorisation(oudécomposition)LU. Le système linéaireAx = b peut s’écrireLU x = b.

En notanty = U x, on se ramène à la résolution du système linéaire à matrice triangulaire inférieureLy =b(résolution pardescente). La solutionxest obtenue en résolvant le système linéaire à matrice triangulaire supérieureU x=y(résolution parremontée).

D´efinition 1.2.1 Pour toutk= 1,2, . . . , n, la matrice

∆k=







a11 a12. . . a1k

a21 a22. . . a2k

... . .. ...

ak1 ak2. . . akk







est appel´ee sous–matrice principale deAd’ordrek.

Th´eor`eme 1.2.1 SoitAunen×n–matrice telle que les sous–matrices principales soient inversibles.

Alors, il existe une matrice triangulaire inf´erieureL= (l_ij)avecl_ii = 1,1 ≤i≤net une matrice triangulaire sup´erieureUtelles que

A=LU.

De plus, une telle factorisation est unique.

Démonstration. Le résultat du théorème équivaut à dire que l’élimination de Gauss est pos- sible.

Clairement, le premier pivot esta11qui est suppos´e non nul puisque∆1est inversible. Cal- culons encore le deuxi`eme pivot :

a⁽²⁾₂₂ =a⁽¹⁾₂₂ −a⁽¹⁾₂₁a⁽²⁾₁₂

=a22−a21

a12

a11

= 1

a₁₁(a22a11−a12a21)

= 1

a₁₁det∆₂.

(11)

1.2 Factorisation LU d’une matrice 5

Puisque∆₂est inversible on aa⁽²⁾₂₂ 6= 0.

Supposons les pivotsa⁽¹⁾₁₁, a⁽²⁾₂₂, . . . , a^(k−1)_k−1,k−1tous non nuls et montrons quea^(k)_kk est non nul.

On a

det∆k=det







a11 a12. . . a1k

a21 a22. . . a2k

... . .. ...

ak1 ak2. . . akk







=a⁽¹⁾₁₁ det







1a⁽²⁾₁₂ . . . a⁽²⁾_1k 0a⁽²⁾₂₂ . . . a⁽²⁾_2k ... . .. ...

0a⁽²⁾_k2 . . . a⁽²⁾_kk







=a⁽¹⁾₁₁a⁽²⁾₂₂ det







1a⁽³⁾₁₂ . . . a⁽³⁾_1k 0a⁽³⁾₂₂ . . . a⁽³⁾_2k ... . .. ...

0a⁽³⁾_k2 . . . a⁽³⁾_kk







=. . .=a⁽¹⁾₁₁ a⁽²⁾₂₂ . . . a^(k)_kk. Puisque det∆k 6= 0, on aa^(k)_kk 6= 0. ut

Comptons le nombre d’op´erations pour l’´elimination de Gauss.

Nous ne nous intéressons qu’aux opérations effectuées sur la matrice. Une étape k de l’élimination s’écrit :

p:= 1/a^(k)_kk;

Pour i=k, . . . , n faire s:=a^(k)_ik ∗p;

Pour j=k, . . . , n faire a^(k+1)_ij :=a^(k)_ij −s∗a^(k)_kj; fin j;

fin i.

On a donc – 1division ;

– n−k+ 1multiplications ;

– (n−k+ 1)²additions et(n−k+ 1)²multiplications.

En supposant que tous les types d’opérations consomment le même temps de calcul, on déduit qu’on a en tout2(n−k+ 1)²+n−k+ 2opérations élémentaires. On somme pour k= 1, . . . , n−1en rappelant les formules :

(12)

m

X

k=1

k=m(m+ 1)

2 ,

m

X

k=1

k²= m(m+ 1)(2m+ 1)

6 .

On obtient ainsi un ordre deO(n³/3)opérations élémentaires.

1.3 Matrices sym´etriques d´efinies positives : factorisation de Cholesky

Rappelons qu’une matrice carrée symétriqueAest ditesymétrique définie positivesi on a x^TAx >0 pour toutx6= 0.

On montre ainsi que siAest symétrique définie positive alors les sous-matrices principales ont toutes des déterminants positifs.

Nous donnons maintenant une nouvelle caract´erisation de ces matrices.

Théorème 1.3.1 Une condition nécessaire et suffisante pour qu’une matrice Asoit symétrique et définie positive est qu’il existe une matriceLinversible triangulaire inférieure telle que

A=LL^T.

Si les éléments diagonauxl_iideLsont choisis strictement positifs, la décomposition est unique.

D´emonstration.

i–Condition suffisante :SoitLinversible, triangulaire inf´erieure. La matrice A = LL^T est sym´etrique. De plus, on a pour toutx∈Rⁿ,x6= 0:

x^TAx=x^TLL^Tx= (L^Tx)^T(L^Tx)>0.

ii–Condition nécessaire :PuisqueAest symétrique et définie positive, tous les déterminants δ_k=det∆_ksont positifs. On peut donc écrire (de façon unique)A=LUo ùLest triangulaire inférieure avecl_ii = 1etU est triangulaire supérieure. D’autre part, on a

0< δ_i=a⁽¹⁾₁₁a⁽²⁾₂₂ . . . a⁽ⁱ⁾_ii 1≤i≤n.

On en d´eduit queujj = a^(j)_jj > 0,1 ≤ j ≤ n. Soit la matrice diagonale D de coefficients dii=√

uii. On a

A= (LD)(D⁻¹U).

PosonsB = LD,C = D⁻¹U. La matrice B est triangulaire inférieure et on ab_ii = √ u_ii, 1 ≤i≤n. De même, la matriceCest triangulaire supérieure et on ac_ii =u_ii/√

u_ii =√ u_ii, 1≤i≤n. Montrons queB=C^T. On a

A=A^T =BC=C^TB^T, ou encore que(C⁻¹)^TB =B^TC⁻¹.

(13)

1.3 Matrices sym´etriques d´efinies positives : factorisation de Cholesky 7

La matrice(C⁻¹)^TB(resp.B^TC⁻¹) est triangulaire inférieure (resp. triangulaire supérieure) ; donc les deux matrices(C⁻¹)^TBetB^TC⁻¹sont diagonales. D’autre part, les éléments diagonaux deB^TC⁻¹sont égaux à 1. On a donc(C⁻¹)^TB =B^TC⁻¹=I. D’o ùC^T =B. Dans cette construction, les coefficients de la matriceDont été choisis positifs. Montrons que c’est la seule factorisation possédant cette propriété. SoientB₁etB₂deux matrices triangulaires inférieures avec(B₁)_ii > 0,(B₂)_ii > 0 etB₁B₁^T = B₂B₂^T = A. Soient D₁ etD₂ les matrices diagonales d’éléments respectifs(D₁)_ii= (B₁)_iiet(D₂)_ii= (B₂)_ii. On pose

L₁=B₁D₁⁻¹, L₂=B₂D₂⁻¹, U₁=D₁B₁^T, U₂=D₂B₂^T.

On aA1=L1U1=L2U2,(L1)ii= (L2)ii= 1. La d´ecompositionLU ´etant unique, on obtient B1D₁⁻¹=B2D₂⁻¹, D1B₁^T =D2B₂^T.

L’égalité des éléments diagonaux des matricesD1B₁^T etD2B₂^T implique (B1)²_ii= (B2)²_ii 1≤i≤n.

DoncD1=D2car(B1)ii = (B2)ii>0. D’o `uB1=B2. ut

´Ecrivons maintenant l’algorithme de Cholesky. On a en utilisant le fait queLest triangulaire inf´erieure :

aij =

n

X

k=1

likljk=

min(i,j)

X

k=1

likljk 1≤i, j≤n.

CommeAest sym´etrique, il suffit d’´ecrire cette relation pour1≤i≤j≤npar exemple. On a :

a_ii =

i

X

k=1

l²_ik=l²_ii+

i−1

X

k=1

l²_ik, i= 1, . . . , n;

d’o `u

lii=± v u u taii−

i−1

X

k=1

l_ik². De mˆeme, pour1≤i < j≤n:

aij =

i

X

k=1

likljk=

i−1

X

k=1

likljk+liilji.

D’o `u

l_ji= 1 lii

a_ij−

i−1

X

k=1

l_ikl_jk

! .

Ces deux relations ont un sens d’après le théorème précédent. De plus, la conditionl_ii >0 permet de choisir la valeur positive de la racine.

Notons que le calcul des éléments deLse fait de la manière suivante :

(14)

l11=√ a11, l₂₁= a₁₂

l11

, l₂₂= q

a₂₂−l²₂₁, . . .

i.e., ligne par ligne. L’algorithme informatique est le suivant : Pour i= 1, . . . , n faire

s:= 0;

Pour k= 1, . . . , i−1 faire s:=s+a²_ik

fin k;

aii:=√ aii−s;

Pour j=i+ 1, . . . , n faire s:= 0;

Pour k= 1, . . . , i−1 faire s:=s+a_ik∗a_jk; fin k;

a_ji:= (a_ji−s)/a_ii; fin j;

fini.

Comptons le nombre d’op´erations. Pour chaque ligneion a :

(i−1) (additions + multiplications),

+ 1 addition,

+ 1 extraction de racine carr´ee, + (n−i)(i−1) (additions + multiplications), + (n−i) (additions + divisions).

Sommons pouri= 1, . . . , n, nous obtenons le terme dominant :

n

X

i=1

(ni−i²+i−n) = n³

6 +O(n²)

(additions + multiplications).

Soit, au totalO(n³/6)opérations élémentaires. Il est donc recommandé d’utiliser la méthode de Cholesky si la matrice est symétrique définie positive.

(15)

2 Méthodes itératives de résolution des systèmes linéaires

Les méthodes directes sont très co ûteuses en termes de nombre d’opérations, donc de temps de calcul lorsque la taille du système linéaire est assez élevée. En effet, nous avons vu que la résolution d’un système d’ordrenrequiertO(n³)opérations. On peut alors avoir recours

à des méthodes o ù la solution est obtenue par itérations successives et o ù chaque itération consiste à résoudre un système linéaire moins co ûteux.

On peut décrire de manière générique une classe de méthodes itératives de la manière suivante : Considérons le système linéaire

Ax=b

o `uAest unen×n–matrice inversible, et soit une d´ecomposition deAsous la forme A=M −N

o ù M est une matrice inversible,facile à inverser. En se donnant un vecteur x⁰ ∈ Rⁿ, on construit une suite de vecteurs(x^(k))par les itérations

M x^(k+1)=N x^(k)+b, k= 0,1, . . . . (2.1) Notons que si cette m´ethode converge vers un vecteurx∈Rⁿalors on a n´ecessairement

M x=N x+b, doncAx=b.

On dit alors que la m´ethode it´erative estconsistante.

2.1 Convergence des m´ethodes it´eratives

Soitx∈Rⁿ; on d´efinit la norme :

kxk:=Xⁿ

i=1

x²_i¹₂ .

(16)

10 2. Méthodes itératives de résolution des systèmes linéaires

On dira alors que la m´ethode it´erative (2.1) converge s’il existe un vecteurx∈Rⁿtel que lim

k→∞kx^(k)−xk= 0 pour tout choix de vecteur initialx⁽⁰⁾∈Rⁿ.

D´efinition 2.1.1 SoitA une matrice carr´ee d’ordre n. On appellerayon spectralde A (on note ρ(A)) la plus grande valeur propre en module,i.e.

ρ(A) := max{|λi|; λivaleur propre deA, 1≤i≤n}.

On a alors le th´eor`eme fondamental suivant :

Théorème 2.1.1 La méthode itérative(2.1)converge si et seulement si ρ(M⁻¹N)<1.

Démonstration. Soitxla solution du système linéaireAx=b. On en déduitM x=N x+b.

Donc

M(x^(k+1)−x) =N(x^(k)−x).

Soite^(k)=x^(k)−x. On a

(x^(k)−x) =M⁻¹N(x^(k−1)−x) =. . .= (M⁻¹N)^k(x⁽⁰⁾−x), ou encore

e^(k)=B^ke⁽⁰⁾ o `u B=M⁻¹N.

Consid´erons la d´ecomposition de Jordan de la matriceB: B=P ΛP⁻¹.

On en déduitB^k =P Λ^kP⁻¹o ùΛest une matrice diagonale par blocs, chaque blocΛi étant de la forme

Λi =







λi 1 0

. .. ...

. .. 1

0 λi







On montre alors que si|λi| <1alorsΛ^k_i →0sik → ∞. On en d´eduit queΛ^k, et doncB^k tendent vers la matrice0.

La propri´et´e inverse se montre facilement. ut

(17)

2.2 Quelques m´ethodes it´eratives 11

2.2 Quelques m´ethodes it´eratives

´EcrivonsAsous la forme

A=L+D+U o `u

d_ij=

(a_ii sii=j

0 sinon , l_ij =

(a_ij sii > j

0 sinon , u_ij=

(a_ij sii < j

0 sinon .

On suppose en outre que la matrice diagonaleDest inversible,i.e.aii 6= 0pour1≤i≤n. 2.2.1 M´ethode de Jacobi

Cette m´ethode s’´ecrit

D x^(k+1):=−(L+U)x^(k)+b, k= 0,1, . . .

ou encore 









x^(k+1)_i := 1 aii

bi−X

j6=i

aijx^(k)_j

1≤i≤n, k= 0,1, . . .

x⁽⁰⁾_i donn´e 1≤i≤n.

En d’autres termes, nous avons choisi

M =D, N =−(L+U).

Chaque itération consiste donc à résoudre un système linéaire diagonal.

2.2.2 M´ethodes de Gauss–Seidel et de relaxation

La présentation de la méthode de Jacobi montre que, pour calculer les itérésx^(k+1)_i , les va- leursx^(k+1)_j ,1≤j < isont disponibles. On peut donc modifier cette méthode en écrivant :











x^(k+1)_i := 1 a_ii

bi−X

j<i

aijx^(k+1)_j −X

j>i

aijx^(k)_j

1≤j≤n, k= 0,1, . . .

x⁽⁰⁾_i donn´e 1≤i≤n.

Cette méthode peut encore être écrite sous la forme :

(D+L)x^(k+1)=−U x^(k)+b, k= 0,1, . . . . La méthode de relaxation consiste à écrire

1 ωD+L

x^(k+1)=

1−ω ω D−U

x^(k)+b, k= 0,1, . . . o ùω >0est un réel donné. Nous avons ainsi le choix

M = 1

ωD+L, N =1−ω ω D−U.

Pour ω = 1, nous retrouvons la méthode de Gauss Seidel. Pour ω < 1 on appelle cette méthodeméthode de sous–relaxationet pourω >1méthode de sur–relaxation.

(18)

2.3 Matrices sym´etriques d´efinies positives

Nous allons maintenant examiner la convergence de ces méthodes itératives dans le cas d’une matrice symétrique définie positive.

Théorème 2.3.1 SoitAune matrice symétrique définie positive et soitA=M−Nune décomposition deAo ùM est inversible. On suppose que la matriceM^T+Nest symétrique définie positive. Alors, la méthode itérativeM x^(k+1)=N x^(k)+bconverge.

On peut d´eduire de ce r´esultat le corollaire suivant :

Corollaire 2.3.1 Si A est symétrique définie positive, la méthode de relaxation avec0 < ω < 2 converge.

D´emonstration. Pour la m´ethode de relaxation, on a M = 1

ωD+L, N =1−ω ω D−U.

CommeAest symétrique, on aL=U^T. La diagonale deM est celle deD. On en déduit que M est inversible puisque les élémentsdiisont positifs. Soit

M^T +N = 1

ωD+L^T+1−ω

ω D−L^T = 2−ω ω D.

Cette matrice diagonale est d´efinie positive si et seulement si0< ω <2. ut

Corollaire 2.3.2 SoitAune matrice symétrique définie positive telle que2D−Asoit définie positive.

Alors, la m´ethode de Jacobi converge.

D´emonstration. On aM^T +N = 2D−A. ut

2.4 Matrices `a diagonale dominante

Une autre catégorie de matrices pour lesquelles l’utilisation des méthodes de décomposition est intéressante est celle des matrices à diagonale dominante.

On dit qu’une matriceAest `adiagonale dominantesi on a X

j6=i

|aij| ≤ |aii| ∀i= 1, . . . , n.

On dit qu’elle est à diagonale strictement dominante si l’inégalité ci-dessus est stricte.

Théorème 2.4.1 SoitAune matrice àdiagonale strictement dominante; alorsAest inversible.

De plus, les m´ethodes de Jacobi et de Gauss-Seidel convergent.

(19)

2.4 Matrices `a diagonale dominante 13

D´emonstration.

– Montrons d’abord queAest inversible : Soitx∈ Rⁿ avecx 6= 0etAx = 0. Soititel que

|xi| ≥ |xj|pour toutj= 1, . . . , n. On a

aiixi=−X

j6=i

aijxj. Donc

|aii||xi|=

X

j6=i

a_ijx_j ≤X

j6=i

|aij| |xj| ≤ |xi|X

j6=i

|aij|.

Ceci est impossible puisquex6= 0. La matriceAest donc inversible.

– Montrons maintenant la convergence : PosonsB=M⁻¹N et soitλune valeur propre etx vecteur propre deB,i.e.

Bx=λx, x6= 0.

Puisque l’on s’int´eresse `a la plus grande valeur propre en module, on supposeλ6= 0. On a

ainsi

M −1 λN

x= 0.

Pour la m´ethode de Jacobi, cela devient

D+1 λL+ 1

λU

x= 0.

NotonsC=D+_λ¹L+¹_λU. Supposons, par contradiction, que|λ| ≥1, on a dans ce cas

|cii|=|aii|>X

j6=i

|aij| ≥ 1

|λ|

X

j6=i

|aij|=X

j6=i

|cij|.

On en d´eduit queC est `a diagonale strictement dominante, donc inversible. Doncx = 0. Ceci est une contradiction avec le fait quexest vecteur propre.

– Pour la m´ethode de Gauss-Seidel, on pose

C=D+L+1 λU.

Ici encore, par contradiction, si|λ| ≥1, on d´eduit

|cii|=|aii|

>X

j6=i

|aij|

≥X

j<i

|aij|+ 1

|λ|

X

j>i

|aij|

=X

j6=i

|cij|.

On obtient ainsi une contradiction. ut

(20)

2.5 Remarques et conclusions

L’utilisation des méthodes itératives est généralement plus avantageuse lorsque celles-ci convergent. Les méthodes de Jacobi, de Gauss-Seidel et de relaxation ne convergent le plus souvent que dans les cas que nous avons décrits dans ce chapitre. Il existe des méthodes itératives beaucoup plus élaborées et qui convergent dans des cas plus généraux que ceux décrits ici. Dans le cas de matrices creuses,i.e., les matrices contenant un nombre significa- tif de coefficients nuls, ces méthodes sont beaucoup plus économiques puisqu’il n’est pas nécessaire de stocker en mémoire les coefficients nuls ni d’effectuer les opérations les utilisant.

La méthode de Gauss-Seidel converge généralement plus vite et plus souvent que la méthode de Jacobi. La méthode de relaxation nécessite la connaissance d’une valeur optimale du pa- ramètre de relaxationω.

La convergence des méthodes itératives se teste généralement en utilisant un paramètre de tolérance. On arrête ainsi les calculs dès que l’erreur relative est assez petite :

kx^(k+1)−x^(k)k kx^(k)k < . Une autre alternative est de tester le r´esidu :

kAx^(k+1)−bk< .

(21)

3 Interpolation et approximation de fonctions

Nous nous intéressons, dans ce chapitre, à l’approximation de fonctions soit par interpolation soit par moindres carrés.

3.1 Interpolation de Lagrange

Consid´erons un ensemble de points dans le plan

(x0, y0),(x1, y1), . . . ,(xk, yk), . . .

Ces points peuvent constituer par exemple des résultats de mesures, des données d’ex- périences ou des résultats de calculs numériques. On cherche à déterminer une fonction

“simple” passant par ces points. On parle d’interpolation. La connaissance d’une telle fonction permettrait non seulement de donner une approximation des valeurs en dehors de ces points mais aussi par exemple de calculer facilement la dérivée ou une intégrale. L’exemple le plus simple de fonction que l’on pourrait déterminer est celui d’un polyn ôme. En effet, un polyn ôme est une fonction facile à évaluer et indéfiniment dérivable.

On se donne donc une collection den+ 1points

(x₀, y₀),(x₁, y₁), . . . ,(x_n, y_n)

deR², d’abscisses distincts deux à deux. On cherche un polyn ôme de degré inférieur ou égal

`an:

p(x) =a0+a1x+a2x²+. . .+anxⁿ v´erifiant les relations

p(xi) =yi 0≤i≤n.

Notons que ceci équivaut à rechercher lesn+ 1coefficients(ai)du polyn ômep. Remarque 3.1.1 Ce problème peut s’écrire sous la forme d’un système linéaire :

n

X

j=0

x^j_iaj =yi 0≤j≤n.

(22)

16 3. Interpolation et approximation de fonctions

Il suffirait donc de résoudre ce système pour trouver les coefficients du polynômep. Cette procédure peut se révéler cependant co ûteuse et poser quelques problèmes numériques que nous n’aborderons pas ici.

3.1.1 Base de Lagrange

On d´efinit, pour touti= 0,1, . . . , n, le polyn ˆome dit deLagrange: L_i(x) = (x−x₀) (x−x₁). . .(x−x_i−1) (x−x_i+1). . . (x−x_n)

(xi−x0) (xi−x1). . . (xi−xi−1) (xi−xi+1). . .(xi−xn) =Y

j6=i

x−x_j xi−xj

.

ClairementL_iest un polyn ôme de degrénvérifiant

L_i(x_i) = 1 et L_i(x_j) = 0 sii6=j.

Les polyn ômesLisont linéairement indépendants. En effet, sib0, b1, . . . , bnsont(n+ 1)réels tels que

n

X

j=0

b_jL_j(x) = 0 pour toutx∈R, nous en d´eduisons pourx=x_i,

0 =

n

X

j=0

bjLj(xi) =bi.

On a donc b_i = 0 pour touti = 0, . . . , n. Notons parPn l’espace des polyn ômes de degré inférieur ou égal à n. Nous avons ainsi montré que la famille (L_i)ⁿ_i=0 forme une base de l’espacePn, appeléeBase de Lagrange.

Consid´erons maintenant le polyn ˆome dePn,

p(x) =

n

X

j=0

yjLj(x) x∈R.

Ce polyn ôme vérifie les relations p(x_i) = y_i,i = 0, . . . , n. Nous avons donc montré qu’il existe un polyn ôme de degré inférieur ou égal ànvérifiantp(x_i) =y_i. Montrons qu’un tel polyn ôme est unique. Supposons qu’il existe un autre polyn ômeqdePnvérifiant le même type d’identité. Le polyn ômer(x) =p(x)−q(x)est donc un polyn ôme dePnvérifiantr(x_i) = 0 pouri = 0, . . . , n. Puisque les polyn ômes L_j sont linéairement indépendants, on trouve r= 0. D’o ùp=q.

3.1.2 Erreur d’interpolation

On veut maintenant évaluer l’erreur entre une fonction donnéefet le polyn ôme de Lagrange interpolantf. Supposons que la fonctionf est de classeCⁿ⁺¹,i.e.(n+ 1)fois contin ûment dérivable. Soitx6=xiet soitπnle polyn ôme

(23)

3.1 Interpolation de Lagrange 17

πn(x) = (x−x0) (x−x1). . .(x−xn).

On d´efinit le polyn ˆomeq∈Pn+1par

q(t) =p(t) +f(x)−p(x) πn(x) πn(t).

On aq(x_i) =p(x_i) =f(x_i)pour touti= 0, . . . , n. De plus q(x) =p(x) +f(x)−p(x) =f(x).

La fonctionqest donc le polyn ôme d’interpolation de Lagrange defaux pointsx, x0, . . . , xn. SoitF =f−q. Cette fonction admet aux pointsxiun zéro de multiplicité≥1et de même au pointx. Le nombre de zéros deF, multiplicités comprises, est donc≥n+ 2. Par le théorème de Rolle,F⁰ s’annule entre deux zéros. DoncF⁰ a au moinsn+ 1zéros. On en déduit par récurrence queF⁽ⁿ⁺¹⁾a au moins un zéro, notéξx. Donc

0 =F⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ_x) =f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ_x)−q⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ_x).

Le polyn ômeqest de degrén+ 1. Son terme de plus haut degré est f(x)−p(x)

πn(x) tⁿ⁺¹. D’o `u

q⁽ⁿ⁺¹⁾(t) =f(x)−p(x)

πn(x) (n+ 1)!

On en déduit ainsi le théorème suivant :

Théorème 3.1.1 Soitfune fonction de classeCⁿ⁺¹et soitple polynôme d’interpolation de Lagrange def, aux pointsx₀, x₁, . . . , x_n(polynôme de degré inférieur ou égal àn). Alors on a l’inégalité

|f(x)−p(x)| ≤ M_n+1

(n+ 1)!|πn(x)| pour toutx∈R, o `u

Mn+1:= sup

x∈R

|f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)|,

π_n(x) = (x−x₀) (x−x₁). . .(x−x_n).

3.1.3 Calcul du polyn ˆome de Lagrange

En fait, le calcul des polyn ômes de Lagrange s’avère assez co ûteux. En particulier, si l’on veut augmenter le degré du polyn ôme d’interpolation, tout le calcul est à refaire. Pour remédier

à cela, nous allons présenter l’algorithme desdifférences divisées de Newton.

Notons parpk le polyn ˆome d’interpolation de Lagrange aux pointsx0, x1, . . . , xk (de degr´e k) pour0≤k≤n. On a

(24)

p0(x) =f(x0).

Pourk≥1, on apk−pk−1∈Pket de plus

p_k(x_i)−p_k−1(x_i) = 0 i= 0, . . . , k−1.

On en d´eduit que ce polyn ˆome est de la forme :

p_k(x)−p_k−1(x) =f[x₀, x₁, . . . , x_k](x−x₀)(x−x₁). . .(x−x_k−1),

o ùf[x0, x1, . . . , xk]est le coefficient dex^k danspk(x). On en déduit alors par récurrence : p_n(x) =f(x₀) +

n

X

k=1

f[x₀, x₁, . . . , x_k](x−x₀)(x−x₁). . .(x−x_k−1).

Lemme 3.1.1 Pourk≥1, on a

f[x0, x1, . . . , xk] = f[x1, . . . , xk]−f[x0, x1, . . . , xk−1] xk−x0

, etf[xi] =f(xi).

Démonstration. Soitk ≥1et soitpe_k−1 ∈ Pk−1le polyn ôme d’interpolation def aux points x1, . . . , xk. Le coefficient du termex^k−1dans ce polyn ôme estf[x1, . . . , xk]. En outre, le polyn ômeqk∈Pkdéfini par

qk(x) =(x−x0)pe_k−1(x)−(x−xk)p_k−1(x)

x_k−x₀ ,

co¨ıncide avecfaux pointsx0, . . . , xk. Doncqk =pket on obtient le résultat désiré en identi- fiant les coefficients dex^kdans les deux membres.

On peut ainsi sch´ematiser l’algorithme dit deNewton: f[x₀]

f[x₀, x₁]

f[x₁] f[x₀, x₁, x₂]

f[x1, x2] f[x0, x1, x2, x3] f[x2] f[x1, x2, x3]

f[x2, x3] · ·

f[x3] · · ·

· · · ·

L’intérêt principal de cet algorithme est qu’il ne nécessite pas de recalculer tous les coefficients du polyn ôme de Lagrange lorsqu’on ajoute un point d’interpolation.

(25)

3.2 Approximation au sens des moindres carr´es 19

3.2 Approximation au sens des moindres carr´es

On se donnempoints distinctsx1, . . . , xmdeRetmvaleurs numériques associéesy1, . . . , ym. Au lieu de chercher une fonction qui soit égale ày_ienx_i, on veut construire une courbe qui passeaussi près que possibledes valeursy_i.

L’exemple typique d’utilisation de ce type d’approximation est celui d’un modèle mathéma- tique dépendant d’un certain nombre de paramètres que l’on souhaite ajuster à des mesures par une fonction

φ=

n

X

j=1

ajwj (3.1)

o ùaisont les paramètres à déterminer.

Soit(wj)ⁿ_j=1un ensemble denfonctions réelles linéairement indépendantes définies sur un intervalle contenant les pointsxi. On cherche une fonctionU de la forme (3.1) telle que les

égalités soient approchées aumieux. Par exemple, on cherche une fonctionU qui rend minimum le nombre

m

X

i=1

Xⁿ

j=1

a_jw_j(x_i)−y_i2

lorsque(a_j)ⁿ_j=1∈Rⁿ.

On peut ´egalement ´ecrire ceci sous la forme











Trouver¯a= (¯ai)∈Rⁿtel que :

m

X

i=1

Xⁿ

j=1

¯

ajwj(xi)−yi

2

= inf

a∈Rⁿ m

X

i=1

Xⁿ

j=1

ajwj(xi)−yi

2

,

Notons

E(a) =

m

X

i=1

Xⁿ

j=1

a_jw_j(x_i)−y_i²

=kBa−yk²,

o `uk · kest la norme euclidienne surR^m,Best la matrice de coefficientsb_ij =w_j(x_i)etyest le vecteur de coefficientsyi.

Théorème 3.2.1 SoitB unem×n–matrice avecm > n ety ∈ R^m. Une condition nécessaire et suffisante pour quea¯∈Rⁿréalise le minimum de la fonctionE(a)est que

B^TB¯a=B^Ty.

Ce syst`eme admet toujours au moins une solution. Si rang(A) =n, la solution est unique.

D´emonstration.

(i) Soit¯a∈Rⁿtel queB^TB¯a=B^Tyet soita∈Rⁿ. Notons par(·,·)le produit scalaire dans Rⁿ,i.e.

(a, b) =

n

X

j=1

a_jb_j.

(26)

On a

E(¯a+a) = (B(¯a+a)−y, B(¯a+a)−y)

= (B¯a, B¯a) + (Ba, Ba) + 2(B¯a, Ba)−2(B¯a, y)−2(Ba, y) + (y, y)

= (B^TB¯a,¯a) + (B^TBa, a) + 2(B^TB¯a, a)−2(B^Ty,¯a)−2(B^Ty, a) + (y, y)

=−(B^Ty,¯a) + (B^TBa, a) + (y, y)

≥(y, y)−(B^Ty,¯a).

Or

E(a) = (Ba−y, Ba−y)

= (Ba, Ba)−2(y, Ba) + (y, y)

= (y, y)−2(B^Ty, a) + (B^TBa, a)

= (y, y)−(B^Ty, a).

D’o `u

E(¯a+a)≥E(¯a) pour touta∈Rⁿ. (ii) Soit¯a∈Rⁿtel que

E(¯a)≤E(a) pour touta∈Rⁿ.

Le vecteur qui minimiseEannule le gradient deE. On a pour toutk= 1, . . . , m: E(a) =

m

X

i=1

(Ba)i−yi

2

=

m

X

i=1

Xⁿ

j=1

bijaj−yi

2

. Donc, pour toutk= 1, . . . , m:

∂E

∂ak

= 2

n

X

i=1 n

X

j=1

b_ijb_ika_j−2

m

X

i=1

b_iky_i

= 2 (B^TBa−B^Ty)k. D’o `u le r´esultat.

(iii) Le second membreB^Tyest orthogonal au noyau de la matriceB^TB. Il existe donc toujours une solution. Si rang(B) = n, la matriceB^TB est inversible et la solution est donc unique. ut

Ainsi, le problème de minimisation se ramène à la résolution du système linéaire B^TBa=B^Ty.

On dit alors queuest solution du système surdéterminéBa=yau sens des moindres carrés.

Remarque 3.2.1 Prenons le cas o ù la fonctionwest un polynôme de degré≤n−1. Ainsi,wj(x) = x^j−1,1 ≤j ≤n. Il est clair alors que la matriceAest de rangnet on a donc unicité du polynôme d’approximation.

(27)

4 D´erivation num´erique

4.1 Introduction

Soitf une fonction de classeC¹surR. La dérivée defen un pointx∈Rest définie par f⁰(x) := lim

h→0

f(x+h)−f(x) h

On se propose de trouver des méthodes numériques pour approcher cette dérivée, le calcul effectif de la dérivée pouvant être soit impossible (dérivées intervenant dans des équations différentielles par exemple), soit trop onéreux.

L’idée la plus immédiate est de calculer le quotient différentiel ci-dessus avec une valeur de h“assez petite”,i.e., on pose

f⁰(x)≈ f(x+h)−f(x)

h .

4.2 Erreur d’arrondi

Soitδla précision relative de la machine (ex. :7 chiffres significatifs=⇒ δ= 10⁻⁷). L’erreur absolue sur l’évaluation d’une fonction f en un pointxest de l’ordre deδ|f(x)|. Si hest donné exactement, ainsi quexetx+h, on obtient une borne supérieure de l’erreur sur le numérateur donnée par

δ|f(x+h)|+δ|f(x)| ≈2δ|f(x)|.

Ainsi l’erreur absolue sur le quotient diff´erentiel sera donn´ee par

E_a ≈2δ

f(x) h

. En reprenant l’exemple pr´ec´edent (δ= 10⁻³), on a

(28)

22 4 D´erivation num´erique

•Pourh= 0,1; E_a = 2×10⁻³49

0,1 = 0,98≈1.

•Pourh= 0,01; E_a = 2×10⁻³ 49 0,01 ≈10.

L’expression de Ea montre clairement que pour que l’erreur soit petite, il faut que δ soit petite — cela va de soi — et que|h|soit “grand”.

4.3 Erreur de troncature

Supposons f de classe C². L’erreur introduite en remplaçant la dérivée par le quotient différentiel peut être évaluée en utilisant la formule de Taylor. On écrit

f(x+h) =f(x) +f⁰(x)h+f⁰⁰(ex)h²

2 , o `u|x−ex|<|h|.

Ainsi

f⁰(x) = f(x+h)−f(x)

h −f⁰⁰(ex)h 2. L’erreur de troncature pour des petites valeurs de|h|est d´efinie par

E_t= |h|

2 |f⁰⁰(ex)|.

On en d´eduit qu’il faut que|h|soit suffisamment petit pour queE_tsoit petit et qu’il ne faut pas qu’il soit trop petit pour queE_ane soit pas trop grand ! ! !

Théorème 4.3.1 La quantité

E= 2δ

f(x) h

+|h|

2 |f⁰⁰(ex)|

est minimale pour

|h|= 2 s

δ

f(x) f⁰⁰(x)e

. D´emonstration. On pose

g(x) := 2δ|f(x)|

s +s

2|f⁰⁰(ex)|= a s +bs o `u

a= 2δf(x), b=1

2|f⁰⁰(ex)|.

On en d´eduit

g⁰(s) = 0⇐⇒ −a

s² +b⇐⇒s= ra

b. Ainsi

|h|= 2 s

δ

f(x) f⁰⁰(ex)

. ut

(29)

4.3 Erreur de troncature 23

Exemple :On prendf(x) =x²etδ= 10⁻³. On en d´eduit f⁰⁰(x) = 2, h=p

2δf(x) =√ 2δ|x|.

Six= 7, on ah= 10√

δ≈0,3. ut Le quotient diff´erentiel

f⁰(x)≈ f(x+h)−f(x) h

est appelédifférence décentrée à droite. De manière analogue, la formule dedifférence décentrée

`a gaucheest donn´ee par :

f⁰(x)≈ f(x)−f(x−h) h On peut prendre une diff´erence centr´ee autour dex,i.e.

f⁰(x)≈f(x+h)−f(x−h)

2h .

Dans ce cas, l’erreur d’arrondi reste la mˆeme. Par contre, on modifie l’erreur de troncature.

Théorème 4.3.2 Sif est de classeC³et de dérivées bornées jusqu’à l’ordre3, on a pour toutx∈R:

f⁰(x)−f(x+h)−f(x−h) 2h

≤ h² 3 sup

y∈R

|f⁰⁰⁰(y)|.

D´emonstration. On se restreint au cash >0. On a par la formule de Taylor : f(x+h) =f(x) +hf⁰(x) +h²

2 f⁰⁰(x) +h³

6 f⁰⁰⁰(ξ), o `uξ∈[x, x+h], f(x−h) =f(x)−hf⁰(x) +h

2f⁰⁰(x)−h³

6 f⁰⁰⁰(η), o `uη∈[x−h, x].

Donc

f⁰(x)−f(x+h)−f(x+h)

2h =−h²

6 (f⁰⁰⁰(ξ) +f⁰⁰⁰(η)). D’o `u le r´esultat. ut

On s’intéresse maintenant à la dérivée seconde. On utilise pour cela la formule : f⁰⁰(x)≈f⁰(x+^h₂)−f⁰(x−^h₂)

h

≈ 1 h

f(x+h)−f(x)

h −f(x)−f(x−h) h

=f(x+h)−2f(x) +f(x−h)

h² .

On montre alors par les mêmes méthodes le résultat suivant :

Théorème 4.3.3 On suppose quefest de classeC⁴et de dérivées bornées jusqu’à l’ordre4. Alors on a pour toutx∈R, la majoration :

f⁰⁰(x)−f(x+h)−2f(x) +f(x−h) h²

≤ h² 12 sup

x∈R

|f⁽⁴⁾(x)|.

(30)

(31)

5 Int´egration num´erique

5.1 Généralités

Soitf : [a, b]→Rune fonction continue, nous nous int´eressons au calcul de l’int´egrale Z b

a

f(x)dx.

Soita≤x₀< x₁< . . . < x_n≤b(n+ 1)points distincts pris dans l’intervalle[a, b]et soitpun polyn ôme de degré inférieur ou égal àn, l’interpolant de Lagrange def aux points(xi)ⁿ_i=0. On a donc

p(x) =

n

X

i=0

f(x_i)L_i(x), x∈[a, b]

o `u

Li(x) := (x−x0). . .(x−x_i−1) (x−xi+1). . .(x−xn) (xi−x0). . .(xi−x_i−1) (xi−xi+1). . .(xi−xn). Notons

wi:=

Z b a

Li(x)dx.

Le calcul desw_iest particulièrement aisé puisqu’il s’agit d’intégrales de polyn ômes. On peut ainsiapprocherl’intégraleRb

a f(x)dxpar Z b

a

p(x)dx=

n

X

i=0

w_if(x_i).

De façon générale, si(x_i)ⁿ_i=0est une suite de(n+ 1)points de l’intervalle[a, b]appeléspoints d’intégration numériqueet si(w_i)ⁿ_i=0est une suite de nombres réels appeléspoids de la formule d’intégration numérique, nous dirons que l’expression

I(f) :=

n

X

i=0

wif(xi)

est uneformule d’int´egration num´eriquepourf sur l’intervalle[a, b].

(32)

26 5 Int´egration num´erique

Remarque 5.1.1 Sif est un polynˆome de degr´en, alors I(f) =

Z b a

f(x)dx.

Nous nous intéresserons donc aux formules d’intégration numérique qui sont exactes pour des po- lynômes.

Nous allons maintenant donner un théorème général de majoration de l’erreur. Pour cela, nous considérerons l’intégrale d’une fonction f : [a, b] → R, sur l’intervalle [α, β]. Nous notons les points d’intégration numérique :

x_i=α+θ_i(β−α) 1≤i≤m, o `u0≤θ_i≤1.

Théorème 5.1.1 On suppose quef ∈Cⁿ⁺¹[a, b]et soientα, β∈[a, b]tels quea≤α < β≤b. On suppose que la formule d’intégration numérique :

I(f) = (β−α)

m

X

i=1

w_if(α+θ_i(β−α)) est exacte pour des polynˆomes de degr´en,i.e.

I(g) = Z β

α

g(x)dx pour toutgpolynˆome de degr´en.

Alors, on a l’in´egalit´e :

Z β α

f(x)dx−I(f)

≤ (β−α)ⁿ⁺¹ n!

1 +

m

X

i=1

|wi|θ_iⁿZ β α

|f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)|dx.

Démonstration. Écrivons la formule de Taylor avec reste intégral pourx∈[α, β]: f(x) =

n

X

i=0

f⁽ⁱ⁾(α)

i! (x−α)ⁱ+ 1 n!

Z x α

(x−y)ⁿf⁽ⁿ⁺¹⁾(y)dy.

Si

g(x) :=

n

X

i=0

f⁽ⁱ⁾(α)

i! (x−α)ⁱ et r(x) := 1 n!

Z x α

(x−y)ⁿf⁽ⁿ⁺¹⁾(y)dy, on af(x) =g(x) +r(x). Comme l’applicationf 7→I(f)est lin´eaire on a :

Z β α

f(x)dx−I(f) ≤

Z β α

g(x)dx−I(g) +

Z β α

r(x)dx−I(r) . Puisqueg∈Pn, on aRβ

αg(x)dx=I(g)et donc

Introduction a l'analyse numerique

T R O N C C O M M U N