Série n°2 d’exercices non corrigés « Dérivabilité et Etude de fonction » EXERCICE 1

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 Série n°2 d’exercices non corrigés « Dérivabilité et Etude de fonction » EXERCICE 1

Étudier la continuité de f en x dans chaque cas suivants : ₀ 1)

3 2 4 1

( ) ; 1

1 ( 1) 2

x x

f x x

x f

  

  

 



   



x₀  1 2)

2 3

2 1

( ) ; 1

1

( ) 2 ; 1

x x

f x x

x

f x x x

x

  

 

 



   



0 1

x  3)

3 2

3 2

2

( ) 1; 1

1

( ) 7 8 ; 1

x x x

f x x

x x x

f x x x x

   

 

   



    



x₀ 1

EXERCICE 2

Soit f la fonction définie sur  par :





Montrer que f est continue sur . EXERCICE 3

Soit f la fonction définie par : ²

( ) 3 , 3

6 ( 3) 0

f x x x

x x

f

 

  

  



  



1) Déterminer le domaine de définition de f 2) Montrer que f est continue en -3 . 3) Montrer que f est continue sur





EXERCICE 4

Soit f la fonction définie par :

( ) cos 1 ; 0

(0) 0

f x x x

x f

  

 

  

 



 

 1) Montrer que f est continue en 0 . 2) Montrer que f est continue sur. EXERCICE 5

Montrer que les équations suivantes admettent au moins une solution dans l’intervalle I 1) x x³2x  1 0 , ^{I }

 

2) x sinx  1 0 , 0;

I _ 6_

  

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 3) x³6x   1 2 0 , ^{I }





EXERCICE 6

Montrer que les équations suivantes admettent une seule solution dans l’intervalle I . 1) x⁵3x³4x  5 0 , ^{I }

 

2) x³3x  3 0 , ^{I }





EXERCICE 7

Soit f la fonction définie par : f x( )x³ x 1 1) Donner le tableau de variation de f .

2) Montrer que l’équation f x( )0admet une unique solution dans  et que 01. 3) En utilisant la méthode de dichotomie, déterminer un encadrement de d’amplitude 0,25 EXERCICE 8

Soit f la fonction définie par : ( ) ^{1 4 3 2} 4

4 2

f x  x  x  x 1) Étudier les variations de la fonction dérivée f '

2) a) Montrer que l’équation f '( )x 0admet une unique solution dans  et que  3  2 b) Donner un encadrement de d’amplitude 0,25

3) Déterminer le signe de la fonction f ' 4) a)En déduire les variations de la fonction f b) montrer que ( ) ^{3 (4 )}

f  4 

  ^

EXERCICE 9

Montrer que f admet une fonction réciproque dans I définie sur un intervalle J que l’on déterminera, dans chaque cas suivant, puis déterminer f ^1( )x pour tout xJ :

1) f x( )x² 4x 2 , ^{I }





2) ( ) ^{2 1}

1 f x x

x

 

 , ^{I   }





3) ( )f x  x21 , ^{I   }





EXERCICE 10 :

Soit f la fonction définie par : f x( ) x² 1 x 1) Déterminer D_f le domaine de de définition def

2) Montrer que f admet une fonction réciproque dans^{I }





3) Calculer f ^1( )x pour tout xJ . Exercice 11 :

1) Ordonner les nombres suivants en ordre croissant : ³ 7 و 3 و ⁶ 21 2) Simplifier les nombres suivants : ⁴625 , 3 729³  3242 1024⁵

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 3) Résoudre dans  les équations suivantes : x³  8 , x⁴ 16 , x³120

Exercice 12 :

Simplifier les nombres suivants :

6 4

6 3 6

18 256 64

1024 10 64

 

 

 

6

3 3 5

5

9 6 2 3

27 6

B   



 EXERCICE 13 :

On pose a³9 4 5 ³9 4 5 1) Montrer que a³ 3a18

2) Vérifier que 3 est solution de l’équationx³ 3x18 3) En déduire la valeur de a .

Exercice 14 :

Résoudre dans les équations suivantes :

∎ x3³ x 18

∎ ³1x  ³1x  ³2

∎ ⁴ x 1 ⁴1x  ⁸1x² Exercice 15 :

Calculer les limites suivantes :

Exercice 16 :

soit f la fonction définie par :

3

( ) 1

1 f x

x





1) DéterminerD_f le domaine de définition de f , puis calculer les limites aux bornes deD_f

2) Montrer que f admet une fonction réciproque définie sur un intervalle J que l’on déterminera.

3) Déterminer f ^1( )x pour tout xJ Exercice 17 :

On considère les nombres A et B tels que : 1) Calculer A-B et

A3 9125 et B   

27 3 9 125

27

3 AB

0 3

lim 2

8 2

x

x x

  

3 3

2

lim 2

2

x

x x



 

3

lim

x

x x x x



   

3

lim 3 2

x x x x

  

3 3 lim 1

x x x

  

 

1 3

2 3

2 1

lim

x 1

x x

 x

 



www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 2) On considère le nombre x tel que :

a) Calculer x en fonction de x (remarquer que ³ ) b) En déduire que x1

Exercice 18 :

On considère la fonction f définie par :

1) Déterminer D_f et les limites de f aux bornes de D_f .

2) Soit g la restriction de f sur ^{ }





a) Montrer que g admet une fonction réciproque définie sur un intervalle J que l’on déterminera.

b) Déterminer g^1( )x pour tout xJ

x 3 9125    

27 3 9 125

27

3 3

x³ A³ B

f x x

( ) 2 x4 ²