Série 3 d’exercices non corrigés « dérivabilité et étude de fonction »

(1)

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Série 3 d’exercices non corrigés « dérivabilité et étude de fonction »

EXERCICE N°1

Soit f la fonction définie sur

 

0;1 par :

 

2

1 2

f x x

x



 1°) a. Montrer que f est dérivable sur

 

0;1 et que :

 

3 2 3

2 1

x x f x

x

  



. b. Dresser le tableau de variation de f

c. Montrer que pour tout

 

0;1 on a :

   

 

2

2 2

2 1

1 1

x x

f x x

x x x

  

  

.

d. Déduire la position relative de

 

^C^f la courbe représentative de f et la droite

 

^ ^:^y^^x

e. Tracer la courbe représentative

 

Cf dans un repère orthonormé



^{O i j}^{; ;}^{ }



^.

2°) a. Montrer que f admet une fonction réciproque noté f^¹ définie sur un intervalle J à déterminer .

b. Tracer dans le même repère



Cf¹



la courbe représentative de f^¹ c. Etudier graphiquement la dérivabilité de f^¹ à droite en 0

PARTIE II (Cette partie sera traitée après le chapitre des primitives et calcul d’intégrale) 3°) Soit F la fonction définie sur



^0;^



^{par :} ^cos ²

0 ^x 1

F 



t dt^. a. Montrer que F est dérivable sur



^0;^



et calculer : ^{F x}^

 

^.

b. Déduire que pour tout ^x^



^0;^



^{on a :}

 

¹^{sin 2}

 

¹

4 2 4

F x x x 

  

c. Donner alors la valeur de l’intégrale :

2 2 2

0 1 x dx



4°) a. A l’aide d’une intégration par partie, montrer que:

 

2 2

2 2 2

0 0

1 1

f x dx 2 x dx

 

b. Calculer l’aire  de la partie du plan limitée par les courbes

 

Cf ,



Cf¹



et les droites d’équations : x0 et ²

x 2 EXERCICE N°2

On considère la fonction f définie sur IR par : ^{f x}

 

^ ^x²^{  }^x ¹ ^x

On note

 

Cf sa représentation graphique dans un repère Orthonormé



^{O i j}^{; ;}^{ }



1. Calculer ^lim

 

x f x

 et ^lim

 

x f x

 . La courbe

 

Cf admet-elle des asymptotes horizontales 2. Démontrer que la droite

 

^ d'équation 2 ¹

y  x2 est asymptote oblique a

 

Cf au voisinage de 

(2)

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 EXERCICE N°3

On considère la fonction f définie sur



^{ }^1;



^{par :} ^{f x}

 

^^x² ^x^¹^etf sa représentation graphique dans

le plan muni d'un repère orthonormé



^{O i j}^{; ;}^{ }



(l’unité graphique est 1 cm).

1) Étudier la dérivabilité de f en 1 puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.

2) Etudier les variations de f puis dresser son tableau des variations sur



^{ }^1;



3) Tracer la courbe_f . EXERCICE N°4

Les deux questions peuvent être traitées de façon indépendante

1- On dispose ci-dessous de la courbe représentant de la fonction f définie sur IR par : f

 

^x ^{ax b} ² ⁹

f   c x  où a, b et c sont des réels.

La droite

 

^ est tangente à la courbe C

a) Donner par lecture graphique ^f

 

⁰ ^, ^f

 

^⁴ ^et ^f^

 

⁰ ^.

b) Déterminer alors les réels a, b et c

2- On considère la fonction f définie sur IR par : ^{f x}

 

^{  }^x ^{3 2} ^x²^⁹ et on note

 

C sa courbe représentative.

a) Déterminer une équation de la tangente au point d'abscisse -4

b) Démontrer que la droite équation y  x 3 est asymptote à

 

C au voisinage de . c) Démontrer qu'il existe un unique point de

 

C en lequel la tangente à

 

C est horizontale Préciser les coordonnées de ce point.