Exercices Corrigés (Série 3) de Mécanique des Fluides - SVT2:

Exercices Corrigés (Série 3) de Mécanique des Fluides - SVT2:

Prof. Omkaltoume El FATNI

I. SOLUTION EXERCICE N^◦1:

(1) Calculer la pression PQau point Q:

Réponse: On applique le théorème de Bernoulli entre P et Q:

E(P)=E(Q)⇐⇒PP+ρg zP+¹₂ρv_P²=PQ+ρg zQ+¹₂ρv_Q² Puisquev_P=v_Q=0 ; il vient: P_P+ρg z_P+^@_@

@ 1

2ρv²_P=P_Q+ρg z_Q+^@@

@ 1 2ρv_Q²

⇐⇒PP+ρg zP=PQ+ρg zQ

⇐⇒P_Q=P_P+ρg(z_P−z_Q)

⇐⇒P_Q=P₀+ρg(z_P−z_Q)

A.N: P_Q=10⁵+2×10³×10×(10×10⁻²)=1, 02×10⁵Pa.

(2) Calculer la vitesse d’écoulementv_Rau point R:

Réponse: On applique le théorème de Bernoulli entre Q et R:

E(R)=E(Q)⇐⇒P_R+ρg zR+¹₂ρv²_R=P_Q+ρg zQ+¹₂ρv_Q² Commev_Q=0; Alors: P_R+ρg z_R+1

2ρv_R²=P_Q+ρg z_Q+^@_@

@ 1 2ρv²_Q

⇐⇒P_R+ρg zR+1

2ρv_R²=P_Q+ρg zQ

⇐⇒ 1

2ρv_R²=P_Q−P_R+ρg(z_Q−z_R)

⇐⇒v²_R=2

ρ(P_Q−P_R)+2g(z_Q−z_R)

⇐⇒v_R=³2

ρ(P_Q−P_R)+2g(z_Q−z_R)

´¹

2

D’après la question précédente (1), on a trouvé que P_Q=P₀+ρg(z_P−z_Q), donc on la remplace dans la relation dev_R.

Alors: v_R=³2

ρ(P₀+ρg(z_P−z_Q)−P_R)+2g(z_Q−z_R)

´¹

2

Une fois le liquide (Sérum) s’écoule en point Q, il est en contact avec l’air (ou l’atmosphère) à P₀, donc on peut dire que la pression en point Q et la pression atmosphérique sont égales autrement dit P_Q=P₀.

Alors: v_R=³2

ρ(P₀+ρg(z_P−z_Q)−P₀)+2g(z_Q−z_R)

´¹

2

⇐⇒v_R=³

2g(z_P−z_R)

´¹₂ A.N: v_R=³

2×10×(1, 1)

´¹

2 =4, 69m/s.

(3) Calculer le débit volumique en R (Q_V):

Réponse: Sa définition c’est la vitesse de fluide en point R (v_R) au moment où le fluide traverse une section (s=0, 5mm²).

Son expression est la suivante: Q_V=s×v_R

A.N: Q_V=(0, 5×10⁻⁶)×4, 69=2, 34×10⁻⁶m³/s=2, 34cm³/s.

(4) Dans le cas où P_R=³₄P₀, Calculer la vitesse d’écoulementv_Ret le débit volumique (QV) au point R:

Réponse: Dans le cas où P_R=³₄P₀, Alors: vR=³2

ρ(P0+ρg(zP−zQ)−3

4P0)+2g(zQ−zR)

´¹

2

⇐⇒v_R=³2 ρ(1

4P₀+ρg(z_P−z_Q))+2g(z_Q−z_R)

´¹₂

⇐⇒v_R=³P₀

2ρ+2g(z_P−z_R)

´¹

2

A.N: v_R=³

10⁵

2×2×10³+2×10×(1, 1)

´¹₂

=6, 85m/s.

Et Q_V=s×v_R=s׳

P0

2ρ+2g(z_P−z_R)

´¹

2

A.N: QV=(0, 5×10⁻⁶)×6, 85=3, 43×10⁻⁶m³/s=3, 43cm³/s.

II. SOLUTION EXERCICE N^◦2:

(1) Ecrire l’équation de conservation de l’énergie (théorème de Bernoulli) entre S₁et S₂:

Réponse:

En fait le théorème de Bernoulli part d’un principe très utilisé en physique qui est le principe de conservation de l’énergie.

Le théorème de Bernoulli dit tout simplement l’énergie totale du fluide au point 1 est égale à l’énergie totale du fluide au point 2 c-à-d E(1)=E(2) et c’est ça le principe de conservation de l’énergie.

Au niveau de l’écriture du théorème de Bernoulli, ça va donner:

P1+ρsg z1+¹₂ρsv²₁=P2+ρsg z2+¹₂ρsv₂²

Pour simplifier les calculs, l’altitude au point 1 est égale à l’altitude au point 2 ça veut dire Z1=Z2(voir la figure de l’exo 2).

Alors: P₁+ρsg z₁+1

2ρsv₁²=P₂+ρsg z₂+1 2ρsv₂²

⇐⇒P₁+1

2ρsv₁²=P₂+1 2ρsv₂²

⇐⇒P₁−P₂=ρs

2v₂²−ρs

2v²₁

⇐⇒P₁−P₂=ρs

2(v₂²−v₁²)

(2) Ecrire l’équation de conservation du débit entre S₁et S₂: Réponse:

Puisque l’écoulement permanent du sang dans une artère est supposé incom- pressible, on peut dire que le débit volumique (QV) se conserve.

Donc j’aurai le droit d’écrire que Q_V1=Q_V2⇐⇒S₁×v₁=S₂×v₂

(3) Exprimer la différence de pression P1−P2en fonction de la masse volumique du sangρs, ^S_S¹

2 etv₁: Réponse:

Comme S1×v1=S2×v2 alors v2=^S_S¹₂v1 d’où P1−P2=^ρ₂^s³ (^S_S¹

2)²−1´ v₁² (4) Calculer la valeur critique S_2cde S₂en dessous de laquelle on a fermeture de l’artère:

Réponse:

Quand l’artère se referme en point 2⇒ Elle est en contact avec l’atmosphère à P_{at m}donc on peut dire que P₂=P_{at m}.

Alors la valeur critique S_2cde S₂en dessous de laquelle on a fermeture de l’artère, vérifie: P₁−P_{at m}=ρs

2

³ (S₁

S2c

)

2

−1

´ v²₁

⇐⇒³ (S₁

S2c

)

2

−1

´ v²₁= 2

ρs

(P₁−P_{at m})

⇐⇒³ (S₁

S2c

)

2

−1

´= 2

ρs×v₁²(P₁−P_{at m})

⇐⇒(S₁ S2c

)

2

= 2

ρs×v²₁(P₁−P_{at m})+1

⇐⇒(S1

S_2c)

2

=2×(P₁−P_{at m})+ρs×v₁² ρs×v₁²

⇐⇒(S_2c S1

)

2

= ρs×v₁²

2×(P1−Pat m)+ρs×v₁²

⇐⇒S2c2=S12³ ρs×v₁²

2×(P₁−P_{at m})+ρs×v₁²

´

⇐⇒S_2c=S₁ vu

ut³ ρs×v₁²

2×(P₁−P_{at m})+ρs×v₁²

´

A.N: S_2c =πr³

1000×0,2² 2×(113600−10⁵)+1000×0,2²

´=0, 12cm².

III. SOLUTION EXERCICE N^◦3:

(1) Faire le bilan des forces appliquées à la boule (S):

Réponse:

La boule (S) est soumise à 3 forces:

-Son poids (⃗P):

⃗P est appliqué au centre de gravité de la boule (S) et dirigé vers le bas.

Alors⃗P s’écrit comme suit:

⃗P= −mg⃗k= −ρVg⃗k= −ρ⁴₃πR³g⃗k -La poussée d’Archimède (⃗P_A):

C’est la différence de force qui s’exerce sur un volume de liquide entre le bas et le haut. La résultante de ces 2 forces sera une force qui s’exerce forcément vers le haut. La poussé d’Archimède a pour définition la relation suivante:

⃗PA=ρ^′Vig⃗k

Avec ρ^′, V_i et g correspondent respectivement à la masse volumique du liquide newtonien dans lequel la boule (S) est, à l’accélération de la pesanteur et au vol- ume immergé de la boule (S).

-La force de frottement avec le fluide (⃗R):

Au cours de son déplacement le fluide newtonien exerce des forces de frottement sur la boule (S) dont la résultante (⃗R) est proportionnelle à la viscosité du fluide newtonien (η) et à la vitesse de la boule S (v):

⃗R= −6πRηv⃗k

Avec⃗R a la même direction que⃗v et de sens opposé et donnée par la formule de Stockes.

(2) En appliquant le PFD, établir l’équation différentielle du mouvement de la boule (S) et déduire la vitesse limite (v_l) atteinte par la boule (S):

Réponse:

Le PFD s’écrit: ⃗P+⃗P_A+⃗R=m⃗a

⇐⇒ −ρ4

3πR³g⃗k+ρ^′4

3πR³g⃗k−6πRηv⃗k=md v d t⃗k

⇐⇒ −ρ4

3πR³g⃗k+ρ^′4

3πR³g⃗k−6πRηv⃗k=ρVd v d t⃗k

⇐⇒ −ρ4

3πR³g⃗k+ρ^′4

3πR³g⃗k−6πRηv⃗k=ρ4

3πR³d v d t⃗k

⇐⇒d v

d t = −g+ρ^′

ρg− 9ηv 2ρR²

⇐⇒d v d t + 9η

2ρR²v+³ 1−ρ^′

ρ

´ g=0

La vitesse limite (v_l) est atteinte si d v d t =0

⇐⇒ 9η 2ρR²v_l+³

1−ρ^′ ρ

´ g=0

⇐⇒ 9η

2ρR²v_l=g

³ρ^′ ρ −1

´

⇐⇒v_l=2gR²(ρ^′−ρ) 2η

(3) Par comparaison deρetρ^′conclure sur la nature du mouvement de la boule (S) sur les trois cas suivants ((a):ρ>ρ^′, (b):ρ=ρ^′et (c):ρ<ρ^′):

Réponse:

(a): Siρ>ρ^′⇒v_l<0⇒La boule (S) descend dans le liquide.

(b): Siρ=ρ^′⇒v_l=0⇒La boule (S) reste en équilibre dans le liquide.

(c): Siρ<ρ^′⇒v_l>0⇒La boule (S) remonte dans le liquide.

UNIVERSITE MOHAMMED V Année universitaire 2019 - 2020 FACULTE DES SCIENCES

RABAT

Travaux dirigés de Mécanique SVT2 Série 3 - Mécanique des fluides Exercice 1

On considère le dispositif représenté sur la figure ci-contre. Le flacon est rempli d'un liquide (sérum) de masse volumique  2.10³ kg.m^3. Deux tubes A et B distincts, de section constante, ont chacun une extrémité au sein du liquide (P et Q), l'autre à la pression atmosphérique P0 = 10⁵ Pa.

Le tube A sert à faire régner en permanence au point P une pression égale à la pression atmosphérique Pp = P0. Le tube B est utilisé pour transmettre le liquide.

Dans tous le problème on négligera les vitesses vP et vQ (vP = vQ = 0 ) 1) Calculer la pression PQ au point Q.

2) En appliquant le théorème de Bernoulli entre Q et R, calculer la vitesse d'écoulement vR au point R.

3) La section au niveau de R et s = 0,5 mm², calculer le débit volumique Qv

4) L'extrémité R se trouve maintenant dans la veine d'un malade où règne une pression moyenne 4 0

3P

P_R  . Calculer la vitesse d'écoulement vR et le débit volumique Qv au point R.

On donne: zP - zQ = 10 cm, zQ - zR = 1m et g = 10 m.s^-2

Exercice 2

Sur la figure ci-contre, on considère l'écoulement permanent du sang supposé incompressible et de viscosité négligeable dans une artère partiellement obstrué. On appelle P1, P2, v1 et v2 les pressions et les vitesses relatives aux sections S1 et S2. 1) Ecrire l'équation de conservation de l'énergie (théorème de Bernoulli) entre S1 et S2.

2) Ecrire l'équation de conservation du débit entre S1 et S2 .

3) En combinant les deux équations ci-dessous, exprimer la différence de pression P1 - P2 en fonction de

la masse volumique du sang ₁

2 1 et v S

S

s,

 .

4) On admet que l'artère se referme si la pression à l'intérieur devient inférieure ou égale à la pression atmosphérique Patm. Calculer alors la valeur critique S2c de S2 en dessous de laquelle on a fermeture de l'artère.

On a : Patm = 10⁵ Pa, P1= 113600 Pa, v1 = 0,2 m.s^-1, S1 = π cm², _s 1000kg.m^-3. A

B R P

Q

zP

zQ

zR

S1

S2