Exercice 4 Dérivabilité et Etude de fonction

(1)

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Exercice 4 Dérivabilité et Etude de fonction

Exercice 4 :(avec solution) Soit f une fonction définie par :

1- Déterminer le domaine de définition de f , et calculer . 2- Etudier les branches paraboliques de au voisinage de +∞ . 3- Etudier la dérivabilité de f à droite de 1 ;puis donner une

interprétation géométrique au résultat obtenu .

4- Montrer que : ,puis dresser

Le tableau de variation de f sur .

5- Construire dans un repère orthonormé .

6- Soit g la restriction de f sur l’intervalle .

a) Montrer que g admet une fonction réciproque définie sur un intervalle J à déterminer .

b) Construire

 

^C^g^¹ ( la courbe de ) dans le même repère orthonormé c) Montrer que est dérivable au point 1 calculer

 

^g^¹ ^

^{ }

¹

( sachant que ).

d) Vérifier que : , puis donner l’expression de en fonction de x dans J .

Correction Exercice 4

1-

 

² ¹

f x  x x

 

lim

x f x



C

f

 



^{  }^x ^1;



^f^

^{ }

^x ^ ^x^^{1 1}



^x^^² ^x^¹



D

f

C

f

 

^{o i j}^{, ,}



^2;^



g^1

 

^{o i j}^{, ,}

g^1

 

⁵ ¹

g 

 



^{1 1}



²

g x  x  g^¹

 

² ¹

f x x  x 

 

 

D_f x IR / x 1 0 1; 

       

   

2

lim lim 2 1

1 1

= lim 1 2

1 1

lim 0

x x

x

f x x x

x x x

Car x x

 



   

 

 

 

 

 

     

(2)

Calculons

Donc admet une branche parabolique au voisinage de +∞ de direction la droite d’équation .

3- Calculons

D’où :

Donc le signe de est celui de .

  2 1

lim lim

2 x x

f x x x

x x

 

   

   

  

2

= lim 1 2 1

x

 x

   

 

  ²

1 lim 1 0

x

Car x

 x

  

   

   

xlim f x x

 

     

lim lim 2 1

=

x f x x x x

 

    

 

 

Cf

y  x

 

f x^



^1;

   

² ¹



1 2

2 1

x f x x x

x

 

 

      

  

 

  

 

1 1

1

1 1 1 1

1 1 1

1 1

1 1 1

2

1 1 1

x x

x

x x

x

x x

  



   

   

  

  

 

  



^{ }^x ^^^1;^^^



^{f x}^

 

^ ^x ^¹^x



^^x²^{ }^{1 1}



 

f x



^x ^²



(3)

Tableau de variation :

x 1 2 +∞

 

f x - 0 +

 

f x 1 

^f

 

² ^⁰

5- Construction de voir la fin de la correction.

6- g est la restriction de f sur .

a) g est continue et strictement croissante sur donc elle admet une fonction réciproque définie sur .

b) Construction de voir la fin de la correction.

d’où est dérivable en 1 on a :

D’où :

Conclusion :

Représentation Graphique

.

 

Cf

2;

 

 

2;

 

 



^2;



^0;

J g     

 

^C^g^¹

   

    ^{ }  

1

5 1 1 5

5 2 1

1 5 0

5 1 1 5 2

1

)

c

g g

g g g



  

  

    

  

g^1

 

^g^¹ ^

^{ }

¹ ^ ^{g g}^



¹^¹

_{ }

¹



^²

   

 

2 2

d) On a : 1 1 1 2 1 1

1 2 1 1 2 1

x x x

x x

x x g x

      

    

   



^{ }^x ^^2;^^



^{g x}

 

^



^x ^{ }^{1 1}



²

 



^{ }^x ^0;^



^g^¹

^{ }

^x ^



^x ^¹



² ^¹

Exercice 4 Dérivabilité et Etude de fonction

 

 

 

 

 

C

 





 





D

C

 





 

 





 

 

 

   

   

     

 

 



   



  

 

 

 





 





 





 

 

 

 





 

   

       

)

c

 

 



 



   

 





 





 





 





^{ }

^{ }

    ^{ }  

^{ }

_{ }

^{ }