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Vérifier que la fonction CT est strictement croissante sur l’intervalle [1

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(1)

LYCÉE ALFRED KASTLER TES 2012–2013 Devoir surveillé n◦05 – mathématiques

31/01/2013

Exercice 1 (11 points) Une entreprise fabrique un produit chimique. Elle peut en produire x mètres cube chaque jour ; on suppose que xappartient à l’intervalle [1 ; 6].

Le coût total de production CT, exprimé en milliers d’euros, est fonction de la quantité produitex :

CT(x) = x2

2 + 4 lnx+ 5,6 pour x∈[1 ; 6].

1. Vérifier que la fonction CT est strictement croissante sur l’intervalle [1 ; 6].

2. On note CM(x) le coût moyen de production en milliers d’euros du mètre cube pour une production journalière de x mètres cube, avec x∈[1 ; 6]. On rappelle que CM(x) = CT(x)

x . (a) Écrire l’expression de CM(x) en fonction de x.

(b) soitCM0 la fonction dérivée de CM sur[1; 6].

CalculerCM0 (x), et vérifier queCM0 (x) = x2−3,2−8 lnx

2x2 pour toutxde l’intervalle [1 ; 6].

3. Soitf la fonction définie sur l’intervalle [1 ; 6] par f(x) = x2−3,2−8 lnx.

(a) On admet que f est dérivable sur [1 ; 6]. Étudier les variations de f sur [1 ; 6].

(b) Démontrer que l’équationf(x) = 0 possède une solution uniqueαdans [2 ; 6] ; déterminer une valeur approchée par excès à 10−1 près deα.

(c) En déduire le signe de f(x) sur [1 ; 6] (on ne demande pas de justification).

4. On prendra pourα la valeur approchée trouvée à la question 3. b.

(a) En utilisant les résultats de la question 3., étudier le sens de variation de la fonction CM

sur [1 ; 6]. Construire son tableau de variation (arrondir les valeurs au dixième).

(b) Quel est le coût moyen minimal de production du mètre cube de produit ?

Exercice 2 (7 points) La variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [2; 20].

1. Donner l’expression de la fonction f, densité de probabilité de X.

2. Représenter la fonction f dans un repère. Le choix des unités est laissé libre.

3. Déterminer P(X >5).

4. Exprimer P(5< X < 12) sous forme d’intégrale et la calculer.

5. On obtient une valeur deX supérieure à 5.

Quelle est la probabilité que X soit inférieure à 12?

Exercice 3 (2 points) Soitf une fonction positive et intégrable sur[a;b]. SoitF la fonction définie sur [a;b] par :

F(x) = Z x

a

f(t)dt Selon le cours, quelles sont les propriétés de F ?

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