Exercice 6 Dérivabilité et Etude de fonction

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Exercice 6 :(avec solution)

Soit f une fonction définie surIR^ par : 1- Montrer que f est paire .

2- a) Déterminer ^lim

 

x f x

 et donner une interprétation géométrique au résultat .

b) Montrer que ^lim

 

x f x

   et donner une interprétation géométrique au résultat .

3- Montrer que f est strictement décroissante sur





4- a) Soit la courbe de f dans un repère orthonormé

Montrer que coupe l’axe des abscisses en un point unique D’abscisse tel que : .

b) Construire . Exercice 6 (solution)

Donc :

D’où f est paire .

 

f x x x

 

 

 

 ^{1 1}

4  2

 

 

1 2 1 1

f x ^ x ^{ } x

 

1 / 0

;0 0;

f f

D x IR x

D

   

   

    

 

2

1 1

lim lim 2 1 2

1

l

m

i 0

x x

x

f x x x

car x

 



 

      

 

  

 

 



 

     

 

2 2 2 2

on a

1 1 1 1

et 2 1 2 1

f f

x D x D

f x

x x

x x

f x

    

  

       

  

    

 



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Interprétation géométrique

La courbe de f admet une asymptote horizontale d’équation au voisinage de ±∞ (car f est paire)

 

0 0

1 1

lim lim 1

2 2 2

x x

f x

x x

  



 

    

 



1 1- 2 1+ x2 car 1

x x x

 

 

   

      

 

 

0 0

lim lim

x x

Interprétation géométrique

La courbe de f admet l’axe des ordonnées comme une asymptote verticale au voisinage de ±∞ (car f est paire)

3- Calculons ^f

 





Donc f est strictement décroissante sur ^{I }





4- a) f est continue et strictement décroissante sur I donc d’après le TVI il existe un unique réel α tel que :

b) construction de la courbe de f .

y  2

  ^{ }

3 3

2

3

2

1 1

0; 2 1

2 2 2

2 1 1

2 1

1 1 1

x f x

x x

x x

x

x

x

 



 

      

 

  

  

  

 

 

 

 

 



  

 

 





   

2

2 1

0; 1

: 1

1

D où x f x

x

x

 

 

 



 

      

 

 

 



 

4 2

1 1

0

4 2

f f f

f f

  ^{ }   ^{ }  

   

   

    

    Conclusion 1 1;

_{ }^4 2^_

 