Exercice 2 Dérivabilité et Etude de fonction Exercice 2

(1)

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 Exercice 2 Dérivabilité et Etude de fonction

Exercice 2

Soit la fonction f définie par :

 

¹ ⁴ ² ¹

f x   x  5 x  et

 

Cf sa courbe dans un repère orthonormé



^{o i j}^{; ;}^{ }



^.

1- a) Déterminer D le domaine de définition de f . b) Calculer ^lim

 

x f x

  .

2- a) Etudier la dérivabilité de f à droite du point x₀ = 1.

Donner une interprétation géométrique au résultat . b) Montrer que :

     

 

2

2 2

1; 25 9

5 1 4 5 1

x f x x

x x x

 

   

  

c) Dresser le tableau de variation de f sur D .

3- a) Montrer que

 

Cf admet une asymptote oblique au voisinage de +∞ .

b) Déterminer les abscisses des points intersection de

 

Cf et l’axe des abscisses . c) Construire

 

Cf .

4- Soit g la restriction de f sur l’intervalle ⁵_;

3

 

 

 

.

a) Montrer que g admet une fonction réciproque définie sur un intervalle à déterminer . b) Calculer

 

^g^¹ ^

^{ }

⁰

c) Construire la courbe de la fonction réciproque de g . Correction Exercice 2

 

¹ ⁴ ² ¹

f x   x  5 x  1- a) ^D^



^x^^{IR x}^/ ²^{ }^{1 0}



^



^x^^IR^/



^x^¹



^x^¹



^⁰



^{   }



^{; 1}

 

^1;^



On a :



^{ }^{x D alors}





^{ }^{x D}



^et

 

¹ ⁴

 

² ¹ ¹ ⁴ ² ¹

 

5 5

f x   x  x    x  x   f x Donc f est une fonction paire .

 

²

2

) lim lim 1 4 1

5 lim 1 4 1

5

1 4 1

lim 1 1 5

lim 1 4 5

x x

x

b f x x x

x x

x x x

car x

  

 



 

     

 

 

     

 

 

     

 

   



lim 1 5

x x

 

    

   

   

 

  

 

(2)

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 2- a) Calculons

   

1

lim 1

1

x

f x f x





   

   

 

2

1 1

2

1

1 4 1

1 5

lim lim 1 0

1 1

1 4 1

lim 5 1

1

x x

x

x x

f x f

x x f

x x

x x au voisinage de x

 



 



  

  

 

  

 



¹

1

4 1 1

lim 1

5 1

4 1

lim 1

5 1

x

x x

x

x x





   

    

  

     

Donc f n’est pas dérivable à droite du point x₀ = 1 ; est la courbe de f admet une demi tangente verticale dirigée vers le haut à droite du pont d’abscisse 1.

 

 

  

 

2

2 2

2 2 2

2 2

) 1; 1 4 1

5

4 2 5 1 4

1

5 2 1 5 1

4 5 1 4 5 1 16 2

5 1 4 5 1

b x f x x x

x x x

x x

x x x x x

x x x

 

        

 

   

    

  

    

 

  

 

   

2

2 2

2 2 2

2 2 2 2

5 1

5 1 4 5 1

16 25 25 25 9

5 1 4 5 1 5 1 4 5 1

x

x x x

x x x x x x



  

 

     

Donc :

    ^{ }

 

2

2 2

1; 25 9

5 1 4 5 1

x f x x

x x x

 

   

  

Le signe de ^{f x}^

 

est celui de ^{25 9}^ ^x²^



^{5 3}^ ^x



^{5 3}^ ^x



x 1 5/3 +∞



^{5 3x}^



+ 0 -



^{5 3x}^



+ + + f’(x) + 0 - - Tableau de variation de f sur



^1;^



x 1 5/3 +∞

f’(x) + 0 - - f(x)

f(5/3)=2/5

0 -∞

Tableau de variation de f sur D

X -∞ -5/3 - 1 1 5/3 +∞

f’(x) + 0 + 0 - f(x)

f(5/3)=2/5

-∞ 0

f(5/3)=2/5

0 - ∞

(3)

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 3- a) On a : ^lim

 

x f x

   et :

 

2 ²

2

1 4 1 4 1

1 1 1

5 5

1 4 1

1 1

5

f x x

x x

x x x x

x x

  

       

 

   

Donc :

 

2

1 4 1 1

lim lim 1 1

5 5

x x

f x

x x x

 

 

      

 

 

2

1 4 1

lim lim 1 1

5 5 5

4 4

lim 1 1

5 5

lim 1 4 1 5

x x

x

f x x x x

x x

 



   

     

   

   

 

     

 

 

     

 

  

 

2 2

2

1 1

lim 1 4

5 1

x

x x x x

x x



      

 

 

 

  

 

 

 

2 2

2

4 1 lim 1

5 1

4 1

lim 1 1

5 1

x

x x



 

  

 

   

  

 

 

 

 

   

  

 

 

On conclue que

 

Cf admet la droite d’équation ¹ 1

y 5x comme asymptote oblique au voisinage de +∞ .

b) Puisque f est paire dons il suffit de trouver l’intersection de

 

Cf et l’axe des abscisses sur



^1;



.Alors le point ^{M x y}



^;



appartient à cette intersection si et seulement si :

   

2

0 0

1 4 1 0 5

4 1 1 5

y et y f x f x

x x

   

    

   

 

   

    

2 2 2

2 2

2

4 1 1 5

16 1 1 0 25

16 1 1 1 0 25

x x

x x x

 

    

 

    

     

(4)

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     

 

1 16 1 1 0 25

41 9

1 0

25 25

x x x

x x

 

      

 

 

    

 

  

1 41 9 0 1 41

9

x x

x ou x

   

  

Donc :

1; 

 

9 , 0 ; 1, 0 S _ 41  

   

 

 

est



^{1, 0 ;}



⁹ ^{, 0 ;} ⁹ ^{, 0 ; 1, 0}

 

41 41

SD      

      

   

 

SD est l’ensemble des points intersection de la courbe

 

Cf et l’axe des abscisses.

c) Construction de

 

Cf la courbe de la fonction réciproque g^¹.

4- a) Comme f est continue et strictement croissante donc la restriction g l’est aussi ;et par suite g admet une fonction réciproque définie sur l’intervalle

5

 

5 2

; lim ; ;

3 ^x 3 5

J f f x f



      

        .

b) Calcul de



^g^¹



^ ⁰ D’après la question 3-b) on a :

 

  ^{ }

1

41 41 41

0 0

9 9 9

1 1

: 0

41 41

9 9

f g g

donc g

g f



   

   

   

   

  

   

   

   

2

41

41 1 4 9

9 5 41

9 1

f  

    

   

  

 

4 41 4 41

1 1

5 1600 5 40

9 81

36 9

200 50

       

 

 

D’où :

 

¹

 

⁰ ⁵⁰

g^    9