Exercice 5 Dérivabilité et Etude de fonction

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Exercice 5 :(avec solution)

Soit la fonction f définie sur par : .

1- Etudier la dérivabilité de f à droite de ,puis donner une interprétation géométrique au résultat obtenu .

2- Montrer que : ,puis dresser son tableau

De variation .

3- Soit g la restriction de f sur .

a) Montrer que g admet une fonction réciproque sur un intervalle J à déterminer .

b) calculer .( on remarquera que .

Correction Exercice 5

1- Calculons

●

Donc la fonction f est dérivable à droit de 0 et sa courbe admet Une de tangente d’équation à droite du point d’abscisse 0 .

Equation de la demi tangente à droite de

x

 



 

IR^{ f x}

 





0

 

 



f x  x x

 ^4; 

I  

 

^{ }

 



  





   

0

lim 0

0

x

f x f

 x







     

 

0 0 0

0 2

lim lim lim 2 4

0

x x x

x x

f x f

x x x

  

  

   

     

   

4 y x

   

   

     

     

   

 

2

2 2

2

2

2

2 2

2 2 2 2

2 2 1 2

2 2

x IR f x x x

x x x

x x x x

x x x

x x

 

   

    

  

      

 

    





  

  

2 2 2 1

x x

x x



  

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Tableau de signe de sur

x 0 1 4 +∞

-

-

 

Tableau de variation de f sur x 0 1 4 +∞

+ 0 - 0 +

1 +∞

0 0

3- a) D’après le tableau de variation de f la restriction g est strictement croissante sur ; donc elle admet une fonction Réciproque définie sur . b) On a : ● Donc est dérivable en 9 et on a : .

 

 

 

  



^{ }

^{ }

g x x x   x 





 



 



g   

 

 

g   g^ 



 

  







g g ^  g     

g

 

^{ }



_{ }

