Exercice 4 « Dérivabilité et Etude de fonction » Exercice 8 : Problème de synthèse On considère la fonction f définie sur

(1)

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 Exercice 4 « Dérivabilité et Etude de fonction »

Exercice 8 : Problème de synthèse

On considère la fonction f définie sur



^0;



^{par :}^{f x}

 

^⁹^x^



^{15 2}^ ^x



^x

et la fonction g définie également sur



^0;



^{par :}^{g x}

 

^¹⁸ ^x^{– 6}^x^¹⁵^.

1. Dresser le tableau de variations complet de la fonction g.

2. Montrer, sans la résoudre, que l’équation admet une unique solution sur que l’on notera α.

3. Déterminer un encadrement à 10^² prés de α.

4. En déduire le signe de g(x) pour tout ^x^



^0;^



^.

5. Démontrer que, pour tout ^x^



^0;^



^{on a :}

   

2 f x g x

x

  .

6. En déduire le tableau de variations complet de f.

Correction Exercice 8

1. On a : ^lim

 

^{lim 18} ^{– 6} ¹⁵ ^lim ¹⁸ ^{– 6} ¹⁵

x g x x x x x x

x x

  

 

      

 

(Car 18

lim 0

x^ x  et lim¹⁵ 0

x^ x  donc 18 15

lim – 6 6

x^ x x

 

  

 

 

)

La fonction g est une somme de fonctions dérivables sur



^0;^



.Elle est donc également dérivable sur cet intervalle.

   

18 ^{3 3 2}

 

18 – 6 15 6

2

x

g x x x

x x

 

     

Donc ^{g x}^

 

est du même signe que 3 2 x .

 

⁰ ^{3 2} ⁰ ⁹

g x    x x 4.

 

⁰ ^{3 2} ⁰ ⁹

x x 4 g x >   >  <

On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

 

⁰ ¹⁵

g  ⁹ ⁵⁷

4 2

g 

 

  . 2. Sur l’intervalle 0;⁹

4

 

 

 

on a :^{g x}

 

^¹⁵ . Par conséquent l’équation ^{g x}

 

^⁰ n’a pas de solution sur cet intervalle.

(2)

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 La fonction g est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur ⁹;

4

 

 

 . De plus ⁹ ⁵⁷

4 2

g 

 

  et ^lim

 

x g x

  . Donc 0 ;⁵⁷ 2

 

 



 



 .

D’après le théorème des valeurs intermédiaires ; l’équation ^{g x}

 

^⁰possède donc une unique solution.

Finalement, l’équation ^{g x}

 

^⁰ possède une unique solution sur



^0;^



^.

2. A l’aide du menu table de la calculatrice on trouve 13, 53 13, 54 . 3. Cela signifie donc que :

4. La fonction f est une somme et un produit de fonctions dérivables sur



^0;^



^.

On a pour tout ^x^



^0;^



^: ^f^

 

^x ^



⁹^x^



^{15 2}^ ^x



^x



^

 

9 2 15 2

2 15 2 2

18 4

18 6 15

2

2 x x

x x x

x x

x

x g

x x x

 



 





Le signe de ^f^

 

^x ne dépend donc que de celui de^{g x}

 

(que nous avons étudié à la question 3).

On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

 

⁰ ⁰

f 

 

⁹ ¹⁵ ²

f x x x x x

 

    

 

Ainsi ^lim

 

^lim ⁹ ¹⁵ ²

x f x x x x

x x

 

 

     

 

(Car 9

lim 0

x^ x  et lim¹⁵ 0

x^ x  ) ; Donc : 9 15

lim 2 2

x^ x x

 

   

 

 

.