Cahier de texte

Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014

D. Blotti`ere Math´ematiques

Cahier de texte

Semaine 34 (du 30 juin au 4 juillet)

Lundi 30 juin : Cours (4h)

Fin du chapitre 18 ^≪Analyse asymptotique pour les suites^≫

• Equivalents usuels pour les suites.´

D´ebut du chapitre 19 ^≪Analyse asymptotique pour les fonctions^≫

• Fonction d´efinie sur un voisinage (´eventuellement ´epoint´e) d’un point.

• Notion de propri´et´e locale pour une fonction.

• D´efinition des trois relations de comparaison pour les fonctions (cf. O

x→x0

, o

x→x0

et ∼

x→x0

).

• Liens entre les trois relations de comparaison pour les fonctions.

• La relation ∼

x→x0

est une relation d’´equivalence sur l’ensemble des fonctions d´efinies au voisinage de x0

(i.e. est r´eflexive, sym´etrique et transitive).

• Si deux fonctionsf etg sont ´equivalentes enx0 et sif(x)_x→x→

0

ℓo`uℓ∈R, alorsg(x)_x→x→

0

ℓ.

• Avoir mˆeme limite enx0 versus ˆetre ´equivalentes enx0, pour deux fonctions.

• Si deux fonctionsf et gsont ´equivalentes enx0sont ´equivalentes et si f(x)>0 localement en x0, alors g(x)>0 localement enx0.

• Formulation des r´esultats sur les croissances compar´ees pour les fonctions, `a l’aide de la notation o

x→x0

.

• R`egles de calcul pour O

x→x⁰ et o

x→x⁰ dans le contexte des fonctions (combinaison lin´eaire, multiplication par un scalaire non nul, puissance, transitivit´e, multiplication par une mˆeme fonction).

• R`egles de calcul pour ∼

x→x0

dans le contexte des fonctions (multiplication par un scalaire non nul, puis- sance, produit, quotient).

• D´eveloppement limit´e enx=a`a l’ordrend’une fonction, o`ua∈Retn∈N.

• Passage d’un d´eveloppement limit´e enx=a`a un d´eveloppement limit´e enh= 0 (changement de variable x=a+h), o`ua∈R.

• D´eveloppement limit´e fondamental : celui dex7→ 1

1−x enx= 0 `a un ordre quelconque.

• Unicit´e du d´eveloppement limit´e enx=a`a l’ordrend’une fonction donn´ee, o`ua∈Retn∈N.

• Troncature du d´eveloppement limit´e enx=a`a l’ordrend’une fonction, o`ua∈Retn∈N.

Lundi 30 juin : TD (2h)

Un calcul d’´equivalent

• D´emontrer que√

n+ 1−√ n∼ 1

2√ n. Feuille de TD n˚23 ^≪Espaces vectoriels^≫

• R´esolution de l’exercice 224.

Feuille de TD n˚24 ^≪Calcul diff´erentiel^≫

• Correction de l’exercice 235.

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Mardi 1^er juillet : Cours (2h)

Suite et fin du chapitre 19 ^≪Analyse asymptotique pour les fonctions^≫

• D´eveloppement limit´e en un point `a l’ordre 0 versus continuit´e en ce point.

• D´eveloppement limit´e en un point n’appartenant pas au domaine de d´efinition `a l’ordre 0 versus prolon- gement par continuit´e en ce point.

• D´eveloppement limit´e en un point `a l’ordre 1 versus d´erivabilit´e en ce point.

• D´eveloppement limit´e en un point n’appartenant pas au domaine de d´efinition `a l’ordre 1 versus d´erivabilit´e et nombre d´eriv´e du prolongement par continuit´e en ce point.

• Op´erations sur les d´eveloppements limit´es (combinaison lin´eaire, produit, inverse, quotient et int´egration).

• Formule de Taylor-Young.

• D´eveloppements limit´es usuels enx= 0.

Devoirs

• Exercice A :Soit (un)n∈N∗ la suite d´efinie paru_n=√

n(ln(n+ 1)−ln(n)) pour toutn∈N^∗. 1. Donner un ´equivalent la suite (un)n∈N∗.

2. En d´eduire la limite ´eventuelle de la suite (un)n∈N∗.

• Exercice B :Soitf la fonction d´efinie par f:x7→ ln(1 + 2x)−2 Arctan(x)

sin(3x) .

1. Donner un ´equivalent def enx= 0.

2. En d´eduire la limite ´eventuelle def en 0.

• Exercice C :Soitf la fonction d´efinie parf:x7→

sinπ 2x

−√ x Arctan(x)−π

4

.Etudier la limite ´eventuelle de´ f en 1.

• Exercice D :Soitf la fonction d´efinie parf:x7→exp 1

x²

−exp 1

x²+ 1

.Donner un ´equivalent de f en +∞.

• Exercice E :Soitf une fonction d´efinie sur un intervalleIdont 0 est un point int´erieur. On fixe un rep`ere du plan (O;−→i ,−→j). Dans chacun des cas suivants :

• d´eterminer sif(0) est un extremum local enx= 0 de f;

• tracer l’allure locale au point d’abscissex= 0 de la courbeC repr´esentant la fonctionf. 1. f(x) = 1 +x−5x²+ o

x→0(x²) 2. f(x) = 2 + 4x²+ o

x→0(x²) 3. f(x) = 1 +x³+ o

x→0(x³) 4. f(x) =x+x³+ o

x→0(x³)

• Exercice F :Soitf la fonction d´efinie par f:x7→ ln(x) x−1. 1. Pr´eciser le domaine de d´efinitionDf def.

2. La fonctionf est-elle prolongeable par continuit´e en 0 ?

3. D´emontrer que la fonctionf est prolongeable par continuit´e en 1. On notefece prolongement.

4. D´emontrer quefeest d´erivable en 1 et calculer fe^′

(1).

5. On fixe un rep`ere (O;−→i ,−→j) du plan. Tracer l’allure locale au point d’abscisse x= 1 de la courbeC repr´esentant la fonctionfe.

Jeudi 3 juillet : Cours (4h)

D´ebut du chapitre 20 ^≪Variable al´eatoire sur un univers fini^≫

• Variable al´eatoire (sur un univers fini) et ensemble des valeurs d’une telle.

• Exemples d’´ev´enements attach´es `a une variable al´eatoire.

• SiX est une variable al´eatoire sur un espace probabilis´e fini (Ω, P), alors X

x∈X(Ω)

P(X=x) = 1.

2

• Loi d’une variable al´eatoire (not´eePX, qui est une probabilit´e sur l’ensemble finiX(Ω)).

• Caract´erisation de la loiPXd’une variable al´eatoireX sur un espace probabilis´e fini (Ω, P) par la donn´ee des probabilit´esP(X=x), o`ux∈X(Ω).

• Image d’une variable al´eatoire par une application.

• Une propri´et´e de la loi d’une image de variable al´eatoire par une application : si X est une variable al´eatoire sur un espace probabilis´e fini (Ω, P), sif: X(Ω) →R est une application, siAest une partie def(X(Ω)), alorsPf(X)(A) =PX(f⁻¹(A)).

• Loi uniforme sur un ensemble finiE : d´efinition, notationU(E) et situation de reconnaissance.

• Loi de Bernoulli de param`etrep, o`up∈[0,1] : d´efinition, notationB(p), la probabilit´e d’´echec est 1−p et situation de reconnaissance.

• SiAest un ´ev´enement d’un espace probabilis´e fini (Ω, P), alors1A: Ω→ {0,1}est une variable al´eatoire sur (Ω, P) suivant la loiB(p), o`up=P(A).

• Loi binomiale de param`etre (n, p), o`un∈N^∗ et p∈[0,1] : heuristique via nr´ep´etitions ind´ependantes d’une exp´erience de Bernoulli de probabilit´e de succ`esp, d´efinition, notationB(n, p), lien avec la formule du binˆome de Newton, situation de reconnaissance (grˆace `a l’heuristique).

• D´efinitions d’un couple de variables al´eatoires (d´efinies sur le mˆeme espace), notions de premi`ere et de deuxi`eme marginale, d´efinition de la loi conjointe.

• Une propri´et´e de la loi conjointe : si (X, Y) est un couple de variables al´eatoires d´efinies sur un espace probabilis´e fini (Ω, P), alors :

X

x∈X(Ω)

X

y∈Y(Ω)

P([X=x]∩[Y =y]) = X

y∈Y(Ω)

X

x∈X(Ω)

P([X =x]∩[Y =y]) = 1.

• La loi conjointe d’un couple de variables al´eatoires permet de retrouver les lois des deux marginales, mais la seule connaissance des lois des deux marginales ne d´etermine pas^≪en g´en´eral^≫ la loi du couple.

• D´efinition de la notion de loi conditionnelle.

• Couple de variables al´eatoires ind´ependantes : d´efinition et caract´erisation.

• n-uplet de variables al´eatoires mutuellement ind´ependantes, o`un∈N_≥2: d´efinition et caract´erisation.

• L’ind´ependance mutuelle implique l’ind´ependance deux `a deux, mais la r´eciproque est fausse <sup>≪</sup>en g´en´eral<sup>≫</sup> d`es que l’on a au moins trois variables al´eatoires en jeu.

• La somme de n variables al´eatoires mutuellement ind´ependantes, suivant toutes la loi B(p), suit la loi B(n, p), o`un∈N^∗ etp∈[0,1].

• Les images de deux variables al´eatoires ind´ependantes sont encore ind´ependantes.

Jeudi 3 juillet : TD (2h)

Application de la th´eorie des d´eveloppements limit´es `a l’´etude d’´equivalents et de limites de suites

• Correction de l’exercice A.

Application de la th´eorie des d´eveloppements limit´es `a l’´etude d’´equivalents et de limites de fonctions

• Correction des exercices B et C.

Application de la th´eorie des d´eveloppements limit´es pour obtenir des d´eveloppements asymptotiques

• Correction de l’exercice D.

Application de la th´eorie des d´eveloppements limit´es `a l’´etude locale d’une fonction

• Correction de l’exercice E.

Application de la th´eorie des d´eveloppements limit´es `a l’´etude d’un prolongement par continuit´e

• Correction de l’exercice F.

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Vendredi 4 juillet : Cours (2h)

Suite et fin du chapitre 20 ^≪Variable al´eatoire sur un univers fini^≫

• D´efinition de l’esp´erance d’une variable al´eatoireX.

• SiX est une variable al´eatoire sur un espace probabilis´e fini (Ω, P) alorsE(X) =X

ω∈Ω

P({ω})×X(ω).

• Exemples fondamentaux d’esp´erances de variables al´eatoires (e.g. cas d’une variable al´eatoire constante, cas d’une variable al´eatoire suivant une loi uniforme, cas d’une variable al´eatoire suivant une loi de Bernoulli, cas d’une variable al´eatoire suivant une loi binomiale).

• Interpr´etation statistique de l’esp´erance en termes de valeur moyenne, pond´er´ee par des poids correspon- dants `a des probabilit´es d’apparitions de valeurs.

• D´efinition d’une variable al´eatoire centr´ee.

• Propri´et´es de l’esp´erance (lin´earit´e et croissance).

• Formule de transfert pour les variables al´eatoires.

• Si deux variables al´eatoires sont ind´ependantes alors l’esp´erance de leur produit est le produit de leurs esp´erances, mais la r´eciproque est fausse^≪en g´en´eral^≫.

• D´efinitions de la variance et de l’´ecart type d’une variable al´eatoire.

• Interpr´etation statistique de la variance comme indicateur de dispersion des valeurs autour de la valeur moyenne (i.e. de l’esp´erance).

• SiX est une variable al´eatoire sur un espace probabilis´e fini (Ω, P) alorsV(X) =E(X²)−E(X)².

• Effet d’une transformation affine sur la variance.

• Exemples fondamentaux de variances de variables al´eatoires (cas d’une variable al´eatoire suivant une loi de Bernoulli, cas d’une variable al´eatoire suivant une loi binomiale).

• In´egalit´e de Bi´enaym´e-Tchebychev.

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