Table des mati`eres

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Table des mati` eres

1 Groupes 3

1.1 D´ecomposition canonique d’une application . . . 3

1.2 Rappels sur les lois de composition . . . 3

1.3 Définition d’un groupe et premières propriétés. . . 4

1.4 Sous-groupes . . . 5

1.5 Morphismes de groupes . . . 6

1.6 Isomorphismes, automorphismes, automorphismes int´erieurs . . . 7

1.7 Groupes produits . . . 9

2 Groupes op´erant sur des ensembles 10 2.1 Repr´esentations d’un groupe sur un ensemble . . . 10

2.2 Groupes op´erant sur un ensemble . . . 11

2.3 Repr´esentations d’un groupeG dans lui-mˆeme . . . 12

2.3.1 Translations. . . 12

2.3.2 Automorphismes int´erieurs . . . 14

2.4 Equation des classes´ . . . 14

3 p-groupes 16 3.1 Généralités . . . 16

3.2 Th´eor`emes de Sylow . . . 16

4 Groupes quotients 18 4.1 Sous-groupes distingu´es d’un groupe . . . 18

4.2 Les groupesZ/nZ . . . 20

4.3 Sous-groupe engendré par un élément, groupes cycliques . . . 20

4.4 Produits semi-directs de groupes . . . 23

5 Groupes ab´eliens 26 5.1 D´efinitions. . . 26

5.2 Structure des groupes ab´eliens de type fini . . . 27

6 Espaces affines 31 6.1 D´efinition, barycentres, sous-espaces affines . . . 31

6.2 Applications affines. . . 35

7 Espaces projectifs 41 7.1 D´efinition . . . 41

7.1.1 Sous-espaces projectifs . . . 41

7.1.2 Homographies. . . 42

7.1.3 Projections centrales . . . 45

7.2 Dualit´e et espaces projectifs . . . 46

7.2.1 Rappels sur la dualit´e des espaces vectoriels . . . 46

7.2.2 Dualit´e entre espaces projectifs . . . 46

7.3 Homographies du plan projectif . . . 47

7.4 Espaces projectifs et points `a l’infini . . . 51

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7.4.1 Le cas de la droite projective . . . 53

7.4.2 Le cas du plan projectif . . . 54

7.4.3 Géométrie projective et géométrie affine . . . 55

7.5 Sous-vari´et´es projectives . . . 55

8 Anneaux quotients 57 8.1 Rappels sur les anneaux . . . 57

8.2 Anneaux quotients . . . 59

8.3 Corps des fractions d’un anneau int`egre . . . 60

8.4 Id´eaux premiers, maximaux . . . 61

8.5 Les anneauxZ/nZ . . . 63

8.6 Caract´eristique d’un corps . . . 65

8.7 Anneaux de polynˆomes. . . 66

8.8 L’anneauk[X] et ses anneaux quotients . . . 69

9 Espaces vectoriels quotients 71 9.1 . . . 71

A Le groupe S_n 73 A.1 D´ecomposition en cycles et signature d’une permutation . . . 73

A.2 Simplicit´e du groupe altern´eA_n (n≥5) . . . 76

B Le théorème de Wedderburn 78 B.1 Les polynômes cyclotomiques . . . 78

B.2 Le th´eor`eme de Wedderburn. . . 79

C Extensions de corps. 79 C.1 Extensions de corps . . . 79

C.1.1 Extensions alg´ebriques . . . 80

C.2 Existence et unicit´e de corps finis de cardinal pⁿ . . . 82

D L’axiome du choix 82 D.1 Rappels sur les relations d’ordre . . . 82

D.2 Un lemme . . . 83

D.3 Énoncés équivalents de l’axiome du choix . . . 84

D.4 Applications. . . 85

D.4.1 Bases d’espaces vectoriels . . . 86

D.4.2 Sous-groupes de groupes ab´eliens libres . . . 86

D.4.3 Id´eaux maximaux d’un anneau . . . 87

D.4.4 Th´eor`eme de Hahn-Banach . . . 87

D.4.5 Existence et unicité, à isomorphisme près, d’une clôture algébrique d’un corpsk . . . 88

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1 Groupes

1.1 D´ecomposition canonique d’une application

SoitX un ensemble, et R une relation d’équivalence surX. On note X/R l’ensemble quotient (c’est-à-dire l’ensemble des classes d’équivalence) de X par R, et ρ : X → X/R la surjection canonique, qui à toutx∈X associe sa classe.

Proposition 1.1.1 Soit f : X → Y une application d’un ensemble X dans un ensemble Y, et R une relation d’´equivalence sur X. On suppose que, si x, x^′ ∈ X, la relation xRy implique que f(x) =f(y).

Il existe alors une unique application f˜ : X/R → Y telle que f = ˜f ◦ρ, o`u ρ: X →X/R est la surjection canonique.

De plus, l’application f˜est injective si et seulement si xRy ⇔ f(x) = f(y), et surjective si et seulement si f est surjective.

Soit C ∈ X/R; posons ˜f(C) =f(x), où x est un élément quelconque de C. Il est clair d’après l’hypothèse que cette définition ne dépend pas du représentant choisi de C, et que l’on af = ˜f◦ρ.

Sihest une application vérifianth◦ρ=f, on doit avoir, pour toute classeC∈X/R, h(C) =f(x), où x∈C, donch(C) = ˜f(C), soit h= ˜f, d’où l’unicité.

Dire que ˜f est injective équivaut à dire que ˜f(C) = ˜f(C^′) ⇒ C =C^′, c’est-à-dire f(x) =f(x^′)⇒xRx^′.

Enfin, si ˜f est surjective, f = ˜f ◦ρ l’est, comme compos´ee de deux surjections.

R´eciproquement, sif est surjective, pour tout y∈Y, il existex∈X tel quef(x) =y, donc ˜f(ρ(x)) =y, et ˜f est surjective.

Théorème 1.1.1 Soit f : X → Y une application, et R la relation binaire sur X définie parxRy si et seulement sif(x) =f(y). AlorsR est une relation d’équivalence.

Notons ρ : X → X/R la surjection canonique. Il existe une unique application f˜: X/R →f(X) telle que f =i◦f˜◦ρ, o`u i: f(X) →Y est l’injection canonique.

De plus,f˜est une bijection.

Cette d´ecomposition s’appelle la d´ecomposition canonique de l’application f.

Démonstration. Il est clair que R est une relation d’équivalence. Le reste du théorème est évident d’après la proposition précédente.

1.2 Rappels sur les lois de composition

Soient X, Y, Z trois ensembles. Une loi de composition de X ×Y dans Z est une application deX×Y dans Z.

Exemple.– Soit kun corps, et E un k-espace vectoriel.

i) L’addition de deux vecteurs de E est une loi de composition deE×E dansE.

ii) L’application de k×E dans E qui `a (x, ~v) associe le vecteur x~v est une loi de composition.

iii) SiE est euclidien, le produit scalaire est une loi de composition de E×E dans k=R; si de plusE est de dimension 3, le produit vectoriel est une loi de composition deE×E dansE.

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Lorsque X = Y = Z, une loi de composition de X×Y dans Z est simplement appel´ee une loi de composition interne surX. Par exemple, dans l’exemple ci-dessus, l’addition de deux vecteurs est une loi de composition interne surE.

Soit X un ensemble, et T une loi de composition interne sur X.

• On dit que T est associative si

∀x, y, z∈X,(xT y)T z =xT(yT z).

• On dit que T est commutative si ∀x, y∈X, xT y =yT x.

• On dit qu’un élément edeXest élément neutre deX si∀x∈X, eT x=xT e=x.

SiT possède un élément neutre, il est unique (car, sie^′ est aussi élément neutre, on a eT e^′ =e^′T e=e=e^′).

• Supposons queT posséde un élément neutree. On dit qu’un élément yde X est symétrique d’un élément x de X sixT y =yT x=e.

• Un élément x ∈ X est dit régulier à gauche (resp. à droite) pour la loi T si l’applicationy7→ xT y(resp. y7→yT x) deX dansX est injective. Cela équivaut

`

a l’assertion:

∀y, z ∈X, xT y =xT z⇒y=z(resp. ∀y, z ∈X, yT x=zT x⇒y=z).

Un élément x∈X est dit régulier s’il est régulier à droite et à gauche.

1.3 Définition d’un groupe et premières propriétés

Définition 1.3.1 Un groupe (G, T) est la donnée d’un ensemble G muni d’une loi de composition interne T associative, possédant un élément neutre, et telle que tout

élément possède un symétrique.

De plus, lorsque la loi T est commutative, le groupe est dit commutatif ou ab´elien.

D´efinition 1.3.2 On dit qu’un groupe G est d’ordre fini si le cardinal de G est fini.

Dans ce cas, l’ordre de G, not´e souvent|G|, est le cardinal de G.

Remarques.– 1) Un groupe est donc la donnée d’un ensemble G et d’une loi T vérifiant les propriétés ci-dessus. En toute rigueur, il faudrait donc toujours parler du groupe (G, T). Néanmoins, lorsqu’il n’y a pas d’ambiguite sur la loi de composition, on dit souvent : “le groupeG” etc.

2) Dans un groupe, tout élément est régulier: en effet, si xT y = xT z, et si u est symétrique dex, on auT(xT y) = (uT x)T y=eT y =yet de mêmeuT(xT z) =z, donc y=z.

On en déduit que tout élément a un unique symétrique (car si xT y=xT z=e, on ay=z).

3) Par analogie avec les groupes (R,+), (Z,+), etc., lorsqu’un groupe est commutatif, on note souvent + la loi de composition du groupe, 0 l’´el´ement neutre, et −x le

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symétrique de x. On dit alors que −x est l’opposé de x, et on dit que le groupe est noté additivement.

LorsqueGn’est pas commutatif, on note en général ×la loi de groupe, 1 l’élément neutre, et x⁻¹ le symétrique de x, qui est alors souvent appelé l’inverse de x. Pour alléger l’écriture, on note alors xy l’élément x×y, et l’on dit que le groupe est noté multiplicativement.

4) Soit G un groupe noté multiplicativement, et a, b deux éléments de G. On a (ab)⁻¹=b⁻¹a⁻¹.

Exemple fondamental.– SoitX un ensemble, et S(X) l’ensemble des bijections deXsur lui-même. L’ensembleS(X) muni de la loi◦est un groupe, non commutatif dès queX a au moins 3 éléments. Les éléments S(X) sont parfois appelés lespermutations deX (car ils permutent les éléments deX).

Lorsque X = {1,2, . . . , n}, où n est un entier ≥1, (S(X),◦) est appelé le groupe symétriqueS_n.

1.4 Sous-groupes

SoitGun groupe, not´e multiplicativement. Si AetB sont deux parties deG, etx un

´el´ement de G, on note

AB={ab;a∈A, b∈B}, A⁻¹={a⁻¹;a∈A}, xA={xa;a∈A} Ax={ax;a∈A}.

Soient A, B, C trois parties de G, et x, y deux éléments de G. La démonstration des formules suivantes est laissée en exercice:

A(BC) = (AB)C, (AB)⁻¹ =B⁻¹A⁻¹,

(xy)A=x(yA), x(AB) = (xA)B, (xA)⁻¹ =A⁻¹x⁻¹ xA=xB⇒A=B.

Attention: l’ensemble AA⁻¹ n’est pas en général égal à {1}.

D´efinition 1.4.1 Soit G un groupe, not´e multiplicativement, et H une partie de G.

On dit que H est un sous-groupe de G si:

i) H est stable par × (i.e. HH ⊂H)

ii) H, muni de la loi de composition interne ×, est un groupe.

Proposition 1.4.1 Soit G un groupe, not´e multiplicativement, etH une partie deG.

Les trois assertions suivantes sont ´equivalentes:

i) H est un sous-groupe de G.

ii) HH⊂H, H⁻¹ ⊂H et1∈H.

iii) H est non vide et HH⁻¹ ⊂H.

La d´emonstration est laiss´ee en exercice.

Remarque.– SoitG un groupe,H un sous-groupe deG,K un sous-groupe de H.

AlorsK est un sous-groupe deG.

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1.5 Morphismes de groupes

D´efinition 1.5.1 Soient G etG^′ deux groupes, not´es multiplicativement.

Une application f de Gdans G^′ est appel´ee un homomorphisme de groupes (ou un morphisme de groupes) si elle v´erifie:

∀x, y∈G, f(xy) =f(x)f(y).

Remarques.– 1) Soit f : G → G^′ un homomorphisme de groupes, not´es multiplicativement. On af(1) = 1 etf(x⁻¹) =f(x)⁻¹.

2) Soient f : G→G^′ un homomorphisme de groupes, et H un sous-groupe de G.

La restrictionf_/H def `aH est un homomorphisme de groupes deH dans G^′.

3) Soit H un sous-groupe d’un groupe G; l’application d’inclusion i : H → G d´efinie pari(x) =x est un homomorphisme de groupes.

4) Soitf : G→G^′ un homomorphisme de groupes. SiAetB sont deux parties de G, on a f(AB) =f(A)f(B). SiA etB sont deux parties deG^′, on a f⁻¹(A)f⁻¹(B)⊂ f⁻¹(AB), mais on n’a en général pas légalité entre les deux ensembles. Par exemple, si f est l’application constante égale à 1, et si A ={x}, B = A⁻¹ ={x^−1}, où x est distinct de 1, on af⁻¹(A)f⁻¹(B) =∅, etf⁻¹(AB) =G.

Proposition 1.5.1 Soit G un groupe, noté multiplicativement, A un ensemble muni d’une loi de composition T, et f : G→ A une application telle que, pour tout couple (x, y) d’éléments de G, on ait f(xy) = f(x)T f(y). Alors l’ensemble f(G) est stable pour la loiT,(f(G), T) est un groupe, et f : G→f(G) est un morphisme de groupes.

De plus, T est l’unique loi de groupe sur f(G) telle que f : G → f(G) soit un morphisme de groupes.

Démonstration. Si f(x) et f(x^′) sont deux éléments de f(G), f(x)T f(x^′) = f(xx^′) est un élément de f(G), et la loi T est donc une loi de composition interne surf(G).

Siy =f(x), y^′ =f(x^′) ety^′′ =f(x^′′) sont trois éléments de f(G), on a (yT y^′)T y^′′ = (f(x)T f(x^′))T f(x^′′) =f(xx^′)T f(x^′′) =f(xx^′x^′′) =yT(y^′T y^′′), et la restriction deT à f(G) est donc associative.

Soite=f(1); pour tout élémentf(x) def(G), on aef(x) =f(1)f(x) =f(1×x) = f(x) =f(x)e, donceest élément neutre de la restriction deT à f(G). De même, pour tout élément y =f(x) def(G), l’élément f(x⁻¹) est symétrique de y; donc (f(G), T) est un groupe, et f est évidemment un morphisme de groupes.

Supposons que T^′ soit une loi de groupe surf(G) telle que f soit un morphisme de groupes. Si y = f(x) et y^′ = f(x^′) sont deux ´el´ements de f(G), on a f(xx^′) = f(x)T f(x^′) =yT y^′ =yT^′y^′, doncT =T^′.

Proposition 1.5.2 Soient f : G → G^′ et g : G^′ → G^′′ deux homomorphismes de groupes. Alorsg◦f :G→G^′′ est un homomorphisme de groupes.

C’est clair.

Proposition 1.5.3 Soit f : G→G^′ un homomorphisme de groupes. Alors, pour tout sous-groupeH⊂G, f(H)est un sous-groupe deG^′, et, pour tout sous-groupeH^′ ⊂G^′, f⁻¹(H^′) est un sous-groupe de G.

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La d´emonstration est laiss´ee en exercice.

Remarque.– Un groupe a toujours au moins deux sous-groupes: le sous-groupe réduit à {1}, où 1 est l’élément neutre deG, et le groupe Glui-même.

Par suite, sif : G→G^′ est un homomorphisme de groupes, l’imagef(G) deGest un sous-groupe deG^′, et l’ensemble f⁻¹({1}) est un sous-groupe de G.

Définition 1.5.2 Soit f : G → G^′ un homomorphisme de groupes. Le noyau de f, notékerf, est le sous-groupe deGégal à f⁻¹({1}).

Proposition 1.5.4 Soit f : G → G^′ un morphisme de groupes. Si A est une partie deG, on a f⁻¹(f(A)) =Akerf = (kerf)A.

D´emonstration.

On a f((kerf)A) = f(kerf)f(A) = f(A) et f(Akerf) = f(A)f(kerf) = f(A), donc (kerf)A) et Akerf sont inclus dans f⁻¹(f(A)).

Réciproquement, soit y ∈ f⁻¹(f(A)). Il existe a ∈ A tel que f(y) = f(a), donc f(a⁻¹y) = f(ya⁻¹) = 1, et a⁻¹y (resp. ya⁻¹) sont des éléments de kerf; par suite, y∈Akerf (resp. y ∈(kerf)A), et f⁻¹(f(A))⊂Akerf (resp. f⁻¹(f(A))⊂(kerf)A).

Th´eor`eme 1.5.1 Soit f : G→G^′ un homomorphisme de groupes; f est une application injective si et seulement sikerf ={1}.

D´emonstration. Supposons f injective. Alors x ∈ kerf ⇔ f(x) = f(1) ⇒ x = 1, donc kerf ={1}.

Réciproquement, supposons kerf = {1}. D’après la proposition précédente, pour toutx∈G, on a f⁻¹(f({x})) ={x}kerf ={x}, d’où le résultat.

Proposition 1.5.5 Soitf : G→G^′un homomorphisme de groupes surjectif. L’application u qui `a tout sous-groupe H de G contenant kerf associe f(H) est une bijection de l’ensemble des sous-groupes deGqui contiennentkerf sur l’ensemble des sous-groupes deG^′.

D´emonstration. Soit g l’application qui `a tout sous-groupeH^′ ⊂G^′ associe le sous- groupef⁻¹(H^′) de G.

Comme f est surjective, u◦g est l’application identique sur l’ensemble des sous- groupes deG^′.

D’autre part, pour tout sous-groupe H de G contenant kerf, on a g◦u(H) = Hkerf, d’après la proposition ci-dessus. Or {1} ⊂ kerf ⊂ H, donc H ⊂ Hkerf ⊂ HH ⊂H, et enfin H =g◦u(H), d’où g◦u = Id; donc u est bijective, d’application réciproqueg.

1.6 Isomorphismes, automorphismes, automorphismes int´erieurs Proposition 1.6.1 Soit f : G → G^′ un homomorphisme de groupes bijectif. Alors f⁻¹ est aussi un homomorphisme de groupes.

D´emonstration. En effet, soient z, z^′ ∈ G^′; il existex, x^′ ∈ G, tels quez = f(x) et z^′ =f(x^′). On a

f⁻¹(zz^′) =f⁻¹(f(x)f(x^′)) =f⁻¹(f(xx^′)) =xx^′ =f⁻¹(f(x))f⁻¹(f(x^′)) =f⁻¹(z)f⁻¹(z^′).

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D´efinition 1.6.1 Une application f : G → G^′ est un isomorphisme de G sur G^′ si elle est bijective et si c’est un homomorphisme de groupes.

D’après la proposition ci-dessus, s’il existe un isomorphismef deGsurG^′, il en existe un deG^′ surG(à savoirf⁻¹). Ceci conduit à la définition suivante:

D´efinition 1.6.2 Deux groupes G et G^′ sont dits isomorphes s’il existe un isomorphisme de groupes de Gsur G^′.

Exemple.-Soitf : X→Y une bijection entre deux ensemblesXetY. L’application S(X)→S(Y) qui à tout élément σ ∈S(X) associef ◦σf⁻¹ est un isomorphisme.

Remarque.– Le compos´e de deux isomorphismes de groupes est un isomorphisme de groupes. Par suite, siGetG^′ sont isomorphes et siG^′ etG^′′ sont isomorphes, Get G^′′ le sont.

D´efinition 1.6.3 Un automorphisme de groupes de Gest un isomorphisme de groupes deG sur G.

Proposition 1.6.2 L’ensemble Aut(G) des automorphismes d’un groupe G est un sous-groupe du groupeS(G) des permutations deG.

C’est évident d’après ce qui précède.

Proposition 1.6.3 Soit G un groupe, noté multiplicativement. Soit Int : G → G^G l’application qui à tout x∈Gassocie Int(x) : G→G, définie par y7→xyx⁻¹.

Alors:

1) pour tout g∈G, l’application Int(g) est un automorphisme deG.

2) L’application Int : G→Aut(G) est un homomorphisme de groupes.

Démonstration. Commex(yz)x⁻¹ =xyx⁻¹xzx⁻¹, l’application Int(x) : G→Gest un homomorphisme de groupes. D’autre part, Int(xy)(z) =xyz(xy)⁻¹ =xyzy⁻¹x⁻¹= x(yzy⁻¹)x⁻¹ = Int(x)(Int(y)(z)) = Int(x)◦Int(y)(z), donc Int(xy) = Int(x)Int(y). Par suite, comme Int(1) = Id_G, on a Int(x)Int(x⁻¹) = Int(x⁻¹)Int(x) = Id; l’application Int(x), admettant un inverse à droite et un inverse á gauche, est une application bijective, donc un élément de Aut(G), et Int : G→Aut(G) est un homomorphisme de groupes.

Définition 1.6.4 Soit G un groupe, et Int : G → Aut(G) l’homomorphisme de groupes défini dans la proposition précédente. Sixest un élément deG, l’automorphisme Int(x) : G → G est appelé l’automorphisme intérieur associé à x. Le sous-groupe Int(G) de Aut(G) est appelé le groupe des automorphismes intérieurs deG.

Proposition 1.6.4 Soit G un groupe, f : G → G un ´el´ement de Aut(G), et x un

´el´ement de G. On a

f ◦Int(x)◦f⁻¹= Int(f(x)).

D´emonstration. (f◦Int(x)◦f⁻¹)(y) =f(xf⁻¹(y)x⁻¹) =f(x)yf(x)⁻¹ = Int(f(x))(y).

Définition 1.6.5 Soit G un groupe. Le noyau ker Int de l’homomorphisme Int est appelé le centre deG, et est notéZ(G). C’est le sous-groupe de Gformé des éléments x∈G tels que, pour toutg∈G, on axg=gx.

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1.7 Groupes produits

Soient G et G^′ deux groupes. Notons p (resp. p^′) la projection canonique de G×G^′ surG(resp. G^′). On ap((g, g^′)) =g etp^′((g, g^′)) =g^′.

Proposition 1.7.1 Il existe une unique loi de groupe surG×G^′ telle quepetp^′ soient des homomorphismes de groupe. Elle est donn´ee par

(g1, g^′₁)(g2, g^′₂) = (g1g2, g₁^′g₂^′).

Démonstration. En effet, on vérifie aisément que la loi définie ci-dessus est bien une loi de groupe, d’élément neutre (1,1), et telle que le symétrique de tout élément (g, g^′) est (g⁻¹, g^′−1). Par ailleurs, une loi de groupe T sur G×G^′ est telle que p et p^′ sont des homomorphismes de groupe si et seulement si p((g₁, g₁^′)T(g₂, g^′₂)) = p((g₁, g₁^′))p((g₂, g₂^′)) =g₁g₂ etp^′((g₁, g₁^′)T(g₂, g^′₂)) =g₁^′g₂^′ pour tous (g₁, g₁^′), (g₂, g₂^′)∈ G×G^′, c’est-à-dire si et seulement si (g1, g₁^′)T(g2, g^′₂) = (g1g2, g₁^′g₂^′), d’où la proposition.

D´efinition 1.7.1 Le groupe produit (ou produit direct) G×G^′ des deux groupes G et G^′ est l’ensemble G×G^′ muni de la loi de composition d´efinie dans la proposition ci-dessus.

Le produit direct de deux groupes possède la propriété universellesuivante:

Proposition 1.7.2 SoientG, G^′ comme ci-dessus. Pour tout groupeK et tout couple d’homomorphismes de groupes f : K → G et g : K → G^′, il existe un unique homomorphisme de groupes h: K→G×G^′ tel que f =p◦h et g=p^′◦h.

Il est d´efini par h(k) = (f(k), g(k)), pour tout k∈K.

C’est clair.

Remarques.– 1) Le groupe G×G^′ est commutatif si et seulement si G et G^′ le sont.

2) La restriction dep^′`a kerpest un isomorphisme de kerpsurG^′. Par suite, kerpet G^′ sont isomorphes (de mˆeme que kerp^′ etG). Explicitement, on a kerp={1} ×G^′= {(1, g^′);g^′ ∈G^′} et kerp^′ =G× {1}. Par suite:

i)∀x∈kerp,∀y∈kerp^′, on a xy=yx.

ii) kerp∩kerp^′ ={1}.

iii) G= (kerp)(kerp^′) (i.e. ∀z∈G×G^′,∃(σ, σ^′)∈kerp×kerp^′,z=σσ^′).

R´eciproquement, on a

Proposition 1.7.3 Soit K un groupe, etGetG^′ deux sous-groupes deK vérifiant les propriétés suivantes:

i) ∀x∈G,∀y∈G^′, on axy =yx.

ii) G∩G^′ ={1}.

Alors la partie GG^′ de K est un sous-groupe de K isomorphe au groupe produit G×G^′.

Démonstration. Considérons l’application f : G×G^′ → K qui à (g, g^′) associe gg^′. Par i), c’est un homomorphisme de groupes, par ii) elle est injective; par suite GG^′ =f(G×G^′) est un sous-groupe de K isomorphe àG×G^′.

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2 Groupes op´ erant sur des ensembles

2.1 Repr´esentations d’un groupe sur un ensemble

Si X est un ensemble, on rappelle que S(X) est le groupe des bijections de X sur lui-mˆeme.

D´efinition 2.1.1 Soit G un groupe et X un ensemble. Une repr´esentation de G sur X est un homomorphisme de groupes de Gdans S(X).

Si X est un ensemble, on note P(X) (resp. P_n(X)) l’ensemble des parties deX (resp. l’ensemble des parties ànéléments deX).

Proposition 2.1.1 Soit ρ : G → S(X) une représentation d’un groupe G sur un ensemble X. L’application ρ˜: G → S(P(X)) (resp. ρ˜_n : G → S(P_n(X))) définie parρ(g)(A) =˜ ρ(g)(A)est une représentation deGsurS(P(X)(resp. surS(P_n(X))).

C’est immédiat, une fois remarqué qu’une bijection de X sur lui-même permute les parties à néléments deX. Plus précisément, l’application φ de S(X) dans S(P)(X) qui à f : X → X associe ˜f : P(X) → P(X) définie par ˜f(A) = f(A) est un morphisme de groupes injectif. On a ˜ρ=φ◦ρ.

Remarque.-Soitρ: G→S(X) une représentation d’un groupeGsur un ensemble X. Si f : G^′ → G est un homomorphisme de groupes, ρ◦f : G^′ → S(X) est une représentation deG^′ surX. En particulier, siH est un sous-groupe deG, la restriction ρ_H deρ à H est une représentation de H surX.

Définition 2.1.2 Soit k un corps, et E un k-espace vectoriel. Une représentation linéaire d’un groupe G sur E est une représentation ρ : G→ S(E) telle que ρ(G) ⊂ GL(E), où GL(E) est le groupe des automorphismes linéaires de E.

Remarque.–Soitρ: G→GL(E) une représentation linéaire d’un groupeGsur unk- espace vectorielE. Sirest un entier naturel, notonsG(E, r) l’ensemble des sous-espaces vectoriels de E de dimension r; comme un automorphisme linéaire de E permute les

éléments de G(E, r), l’application ˜ρ : G→ P(G(E, r) définie par ˜ρ(g)(F) =ρ(g)(F) est une représentation deGsur G(E, r). En particulier, une représentation linéaire de GsurE induit une représentation deGsur l’ensembleG(E,1) des droites de E.

Proposition 2.1.2 Soit ρ une repr´esentation d’un groupe G dans un ensemble X.

SoitR la relation binaire d´efinie sur X par

xRy⇔(∃σ ∈G, y=ρ(σ)(x).

La relation R est une relation d’´equivalence.

Démonstration. Comme ρ(1) = Id_X, pour tout x ∈ X, on a x = ρ(1)(x), et la relation est réflexive. Siy=ρ(σ)(x), on ax=ρ(σ⁻¹)(y), et la relation est symétrique.

Enfin, siy=ρ(σ)(x) et siz=ρ(σ^′)(y), on az=ρ(σ^′σ)(x), et la relation est transitive.

(11)

D´efinition 2.1.3 Soit ρ une repr´esentation d’un groupe G dans un ensemble X.

1) La classe d’équivalence d’un élémentx∈Xrelativement à la relation d’équivalence de la proposition prćédente est appelée l’orbite dex, et est notée Orb(x).

2) Si A est une partie de X, le normalisateur deA, not´eNorm(A), est l’ensemble {σ∈G;ρ(σ)(A) =A}.

C’est un sous-groupe deG. Lorsque Aet un singleton {x}, le normalisateur de{x}

est aussi appel´e le stabilisateur de x, et est not´e Stab(x).

3) Un élémentx de X tel queStab(x) =G (i.e. Orb(x) ={x}) est appelé un point fixe deX (sous l’action de G). L’ensemble des points fixes de X est noté X^G.

3) La repr´esentation ρ est dite fid`ele si kerρ={1}.

2.2 Groupes op´erant sur un ensemble

Définition 2.2.1 Soit Gun groupe et X un ensemble. Une opération à gauche (resp.

`

a droite) de G sur X est une loi de composition . de G×X sur X (resp. de X×G sur X) v´erifiant:

i) ∀x∈X,1.x=x (resp. x.1 =x)

ii) ∀x∈X,∀g, g^′ ∈G, (gg^′).x=g.(g^′.x) (resp. x.(gg^′) = (x.g).g^′)).

On dit alors queG opère (ou encore agit à gauche (resp. à droite) sur X.

Th´eor`eme 2.2.1 Soit G un groupe etX un ensemble.

L’application φ_g (resp. φ_d) qui, à toute représentation ρ : G → S(X) associe la loi de composition de G×X (resp. X×G) dans X définie par g.x = ρ(g)(x) (resp.

x.g=ρ(g⁻¹)(x)) est une bijection de l’ensemble des représentations de G dans X sur l’ensemble des opérations à gauche (resp. à droite) de G sur X.

Démonstration. Soit ρ : G → S(X) une représentation de G dans X. Le fait que gg^′.x = g.(g^′.x) (resp. x.gg^′ = (x.g).g^′) est une simple traduction de l’égalité ρ(gg^′)(x) =ρ(g)◦ρ(g^′)(x), ainsi que du fait que, pourg, g^′ ∈G, on a (gg^′)⁻¹=g^′−1g⁻¹. Par ailleurs,ρétant un homomorphisme de groupes, on aρ(1) = Id_X, donc 1.x=x (resp. x.1 =x) pour toutx∈X.

Réciproquement, à toute opération à gauche (resp. à droite) deGsurX, associons l’application ρ : G → X^X qui à tout g ∈ G associe ρ(g) : X → X définie par ρ(g)(x) =g.x (resp. x.g⁻¹).

Pour tout couple g, g^′ d’éléments de G, et tout élément x de X, on a ρ(gg^′)(x) = (gg^′.x) =g.(g^′.x) =ρ(g)◦ρ(g^′)(x).

Par suite,ρ(gg^′) =ρ(g)◦ρ(g^′),pour tousg, g^′ ∈G.

Or ρ(1) = Id_X. Donc ρ(g)ρ(g⁻¹) = ρ(g⁻¹)ρ(g) = Id_X; ρ(g) est donc bijective.

L’applicationρ est donc un élément de S(X), et un homomorphisme de groupes deG dans S(X). On a ainsi défini une application ψ_g (resp. ψ_d) qui à toute opération à gauche (resp. à droite) de G sur X associe une représentation de G dans X, et il est immédiat queψ_g (resp. ψ_d) est l’application réciproque deφ_g (resp. φ_d).

Supposons donnée une opération (à gauche ou à droite) d’un groupe G sur un ensembleX, et soitρ la représentation associée, Alors,

1) Pour toute partieA de X, le normalisateur Norm(A) deA relativement à cette opération est par définition le normalisateur deArelativement àρ.

(12)

2) De mˆeme, le stabilisateur d’un pointx∈X est le stabilisateur dexrelativement

` aρ.

3) La relation d’équivalence associée est la relation d’équivalence associée àρ.

4) L’orbite d’un élément x∈X est donc Orb(x) =G.xsi G opère à gauche (resp.

Orb(x) =x.GsiG op`ere `a droite).

5) L’ensemble quotient deXest noté G\X (resp. X/G) lorsqueGopère à gauche (resp. à droite) sur X.

Définition 2.2.2 Soit Gun groupe opérant à gauche (resp. à droite) sur un ensemble X.

i) G opère transitivement sur X s’il existe x∈X tel que l’orbite de x soit égale à X; l’ensemble quotient G\X (resp. X/G) a alors un seul élément: pour tout couple (a, b) d’éléments de X, il existe un élément σ ∈G tel que b=σ.a (resp. b=a.σ).

ii) Gop`ere librement sur X si, pour toutx∈X, Stab(x) ={1}.

iii) Gopère fidélement sur X si l’application ρ associée est fidèle.

Remarque.–Il est clair que siGopère librement sur un ensemble non videX, il opère fidèlement surX (car kerρ=∩x∈XStab(x)).

2.3 Repr´esentations d’un groupe G dans lui-mˆeme

2.3.1 Translations

Proposition 2.3.1 Soit G un groupe. L’application tg (resp. t_d) de G dans G^G qui,

`

a toutσ∈G, associe l’application t_g(σ) : G→ Gd´efinie parg7→t_g(σ)(x) =σx (resp.

t_d(σ)(x) =xσ⁻¹) définit une représentation fidèle du groupe G dans l’ensemble G.

Démonstration. Prouvons-le pour t=t_g, la démonstration étant analogue pourt_d. Il est clair que, pour σ, σ^′ ∈ G, on a t(σσ^′) = t(σ) ◦t(σ^′). Comme t(1) = Id_G, on a t(σ⁻¹)t(σ) = t(σ)t(σ⁻¹) = Id_G, donc t(σ) est bijective pour tout σ ∈ G; d’où 1).

Le fait quet est un homomorphisme de groupes est une traduction du fait que, pour σ, σ^′ ∈G, on a t(σσ^′) = t(σ)◦t(σ^′); de plus, kert={σ ∈G;∀g ∈ G, σg =g} ={1}.

Donctest injective.

Corollaire.–Tout groupe (G,×) est isomorphe à un sous-groupe du groupe des permutations de l’ensemble G. En particulier, si Gest un groupe fini à néléments,G est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique S_n.

La représentation t_g (resp. t_d) ci-dessus est appelée la représentation régulière à gauche (resp. à droite) du groupe G. On lui associe l’opération à gauche (resp. à droite) deG sur G définie par σ.g =σg (resp. g.σ = gσ), pour tout couple (σ, g) de G×G. On dit alors que Gagit par translations à gauche (resp. à droite) sur G.

Soit à présentH un sous-groupe deG; la restriction det_g (resp. t_d) àH induit une opération à gauche (resp. à droite) deH surG. On noteH\G(resp. G/H) l’ensemble des orbites deG sous cette action; un élément de H\G (resp. G/H) est appelé une classe à droite (resp. une classe à gauche) deG moduloH. Pour toutσ ∈G, la classe

`

a gauche (resp. `a droite) dex moduloH est doncσH (resp. Hσ).

En particulier, si H ={1}, on a G/H = H\G = {{x};x ∈ G}, et CardG/H = CardG. SiH=G, on a G/H =H\G={G}, et CardG/H = 1.

(13)

Remarque.– La terminologie classes à gauche (resp. classes à droite) peut se justifier par le fait que le groupe G opère par translations à gauche (resp. à droite) surG/H (resp. H\G): si gH (resp. Hg) est une classe à gauche (resp. à droite) de Gmodulo H, et si σ est un élément de G,σ.gH = (σg)H (resp. Hg.σ =H(gσ)) est encore une classe à gauche (resp. à droite) deG moduloH.

Proposition 2.3.2 Soit H un sous-groupe d’un groupe G, et x un ´el´ement de G.

i) L’application f : H → Hx (resp. xH) définie par f(h) = hx (resp. xh) est bijective. (Donc chacune des classes à droite et à gauche de G modulo H a le même cardinal, à savoir le cardinal de H).

ii) On aCardG/H = CardH\G.

D´emonstration. L’assertion i) est claire.

Soit φ: P(G) → P(G) définie par φ(A) = A⁻¹, où A ∈ P(G); φ est bijective, car φ◦φ = Id. De plus, pour tout x ∈ G, on a (xH)⁻¹ = H⁻¹x⁻¹ = Hx⁻¹ et (Hx)⁻¹ =x⁻¹H. Doncφ(G/H) ⊂H\Getφ(H\G)⊂G/H; doncφ(G/H) =H\G, et la restriction deφà G/H est une bijection deG/H surH\G.

Définition 2.3.1 Soit G un groupe, et H un sous-groupe de G. On dit que H est d’indice fini dans G si l’ensemble G/H est un ensemble fini. L’indice de H dans G, noté[G:H], est alors le cardinal de G/H (et donc, d’après la proposition précédente, le cardinal deH\G).

Proposition 2.3.3 Soit G un groupe, H un sous-groupe de G, et K un sous-groupe deH. Alors

i) CardG/K= Card((G/H)×(H/K)).

ii) Le groupe K est d’indice fini dans G si et seulement si K est d’indice fini dans H et H est d’indice fini dans G. Si K est d’indice fini dans G, alors [G :K] = [G : H][H:K].

Démonstration. On utilise ici l’axiome du choix: si ρ : G→G/H est l’application canonique qui à tout x∈Gassocie sa classe, il existe une application G/H →Gqui à toute classe à droitei∈G/H associe un élément g_i ∈Gde i. De même, il existe une application qui à tout j∈H/K associe un élément hj de la classe j.

Le groupe H est l’union disjointe des classes h_jK, j ∈ H/K, et le groupe G est l’union disjointe des classes g_iH, i ∈ G/H. Par suite, G est l’union disjointe des ensemblesgihjK, où (i, j) parcourt l’ensemble (G/H)×(H/K); chacun des ensembles g_ih_jK est une classe à gauche de G modulo K; la partition G =∪gih_jK est donc la partition formée des classes à gauche de G modulo K; par suite, le cardinal de G/K est donc égal au cardinal de (G/H)×(H/K), d’où i) et ii).

Corollaire.–Soit G un groupe fini, etH un sous-groupe de G.

i) On a[G:H] =|G|/|H|.

ii) L’ordre de H divise l’ordre de G.

Démonstration. Soit H un sous-groupe de G, et soit K le sous-groupe de Gégal à {1}. On a|G|= [G:K] = [G:H][H :K] = [G:H]|H|, d’où i) et ii).

(14)

2.3.2 Automorphismes int´erieurs

On a vu plus haut que, si G est un groupe, l’application Int : G → G^G qui, `a tout σ ∈G associe l’automorphisme int´erieur Int(σ) : x7→ σxσ⁻¹ est un homomorphisme deG dans le groupe Aut(G) des automorphismes de groupe deG.

On peut donc associer à Int une opération à gauche (resp. à droite) de G sur lui-même par la loi σ.x=σxσ⁻¹ (resp. x.σ =σ⁻¹xσ).

Définition 2.3.2 SoitGun groupe. On dit que deux élémentsxetx^′ deG(resp. deux

éléments A etB de P(G)) sont conjugués s’ils sont dans la même orbite relativement

`

a l’action de G sur lui-mˆeme par automorphismes int´erieurs, i.e s’il existe σ ∈ G tel quex=σxσ⁻¹ (resp. A=σBσ⁻¹).

2.4 Equation des classes´

Proposition 2.4.1 SoitGun groupe op´erant sur un ensembleX, et soientxety deux

éléments d’une même orbite. Alors leurs stabilisateurs sont conjugués.

Plus précisément, si y=g.x, où g∈G, on aStab(y) =gStab(x)g⁻¹. C’est clair.

Proposition 2.4.2 Soit Gun groupe opérant à gauche (resp. à droite) sur un ensemble X, et soit x ∈X. Notons H = Stab(x). L’application f : G → Orb(x) telle que f(σ) =σ.x(resp. x.σ) est surjective, et se factorise en f =b◦s, oùsest la surjection canonique deGsur G/H (resp. H\G), et oùbest l’application bijective deG/H (resp.

H\G) surOrb(x) définie par b(c)) =σ.x (resp. x.σ), oùσ est un élément quelconque de la classe c.

Démonstration. Démontrons la proposition dans le cas d’une opération à gauche, le cas d’une opération à droite se démontrant de fa¸con similaire.

Montrons d’abord que l’application b est bien d´efinie. Soit c ∈ G/H, et deux

éléments σ, σ^′ dec. Il existe alorsh∈H, tel que σ^′ =σh. Par suite, σ^′.x= (σh).x= σ.(h.x) =σ.x, doncb(c) =σ.xne dépend pas de l’élémentσchoisi dansc. L’application b: G/H →Orb(x) est donc bien définie.

Elle est surjective, car si y est un ´el´ement de Orb(x), il existe σ ∈ G tel que y=σ.x=b(cl(σ)).

Elle est injective, car sib(c) =b(c^′), et siσ (resp. σ^′) est un élément dec(resp. de c^′), on a σ.x = σ^′.x, donc (σ^′−1σ).x = x; par suite, σ^′−1σ est un élément h de H, et σ=σ^′h. Doncσ etσ^′ sont dans la même classe à droite de Gmodulo H, et c=c^′.

Le fait quef =b◦sest alors ´evident.

Corollaire.–Soit Gun groupe opérant à gauche (resp. à droite) sur un ensembleX.

Pour tout x∈X, l’orbite de x a le mˆeme cardinal que l’ensemble quotientG/Stab(x) (resp. Stab(x)\G).

Théorème 2.4.1 Soit G un groupe opérant sur un ensemble fini X. Pour chaque orbite i, soit x_i un élément de i. Pour tout i, l’indice de Stab(x_i) dans G est fini, et on a la formule, dite formule des classes:

(15)

CardX= ^X

i∈G\X

[G: Stab(x_i)].

De plus, si G est fini, on a

CardX= ^X

i∈G\X

|G|/|Stab(xi)|.

Démonstration. Supposons par exemple que G opère à gauche sur X. L’ensemble des orbites forme une partition deX, donc CardX =^P_i∈G\XOrb(x_i); la proposition précédente permet de conclure.

Proposition 2.4.3 SoitGun groupe fini, etX un ensemble non vide sur lequelGagit transitivement. Alors X est fini, et le cardinal de X divise celui de G.

Démonstration. En effet, si H est la stabilisateur de l’un des éléments de X, le nombre d’éléments deX est égal à l’indice [G:H], donc est fini et divise |G|.

(16)

3 p -groupes

3.1 Généralités

Définition 3.1.1 Soit G un groupe, et p un nombre premier. On dit que G est un p-groupe si G est fini et si son nombre d’éléments est une puissance dep.

Théorème 3.1.1 Soitp un nombre premier, etGunp-groupe non réduit à {1}. SiG agit sur un ensemble finiX, on a

CardX ≡CardX^G modp.

Démonstration. On applique la formule des classes: CardX = ^P[G : Stab(x)] = P|G|/|Stab(x)|, oùx parcourt un système de représentants des orbites de l’action de GsurX.

Si H est un sous-groupe de G, H est un p-groupe, et |G|/|H| est ´egal `a 1 si et seulement siH =G, et est divisible parpsinon.

Par suite, pour toutx,|G|/|Stab(x)|est égal à 1 si x ∈X^G, et est divisible par p sinon. D’où le théorème.

Corollaire.–Le centre d’un p-groupe non réduit à {1} est non réduit à {1}.

Démonstration. En effet, le centre d’un groupe G est l’ensemble des points fixes de G lorsque G opère sur lui-même par automorphismes intérieurs. Par le théorème précédent, son nombre d’éléments est un multiple dep, et n’est donc pas égal à 1.

3.2 Th´eor`emes de Sylow

Lemme.–Soit p un nombre premier, et m etr deux entiers ≥1. Alors C_mp^p^rr ≡m modp.

En particulier, si m est premier avec p, C_mp^p^rr n’est pas divisible par p.

Démonstration. Soit G un groupe d’ordre p^r (Il en existe, par exemple Z/p^rZ)s, et soit A un ensemble à m éléments. Soit B = G×A. On fait agir G sur B par g.(x, a) = (gx, a). Le groupe G opère sur l’ensemble C des parties à p^r éléments de B, dont le cardinal estC_mp^p^rr; Soit Dun élément deC^G; si (g, a) est un élément de D, l’application G → D qui à σ associe (σ.(g, a) = (σg, a) est injective, donc surjective.

Par suite, les éléments deC^G sont les parties de C de la forme {(g, a);g ∈G},a fixé.

Donc CardC^G = m; comme G est un p-groupe non réduit à {1}, on a CardC^G ≡ CardC modp, d’où le lemme.

D´efinition 3.2.1 SoitGun groupe fini. Si pest un nombre premier, unp-sous-groupe de Sylow deG est un sous-groupe H de G tel que:

1) H est un p-groupe.

2) L’indice [G:H]de H dans G est premier `a p.

Th´eor`eme 3.2.1 Soit G un groupe fini, p un nombre premier, et S_p(G) l’ensemble desp-sous-groupes de Sylow de G.

1) S_p(G) est non vide.

(17)

2) Tout sous-groupe deGqui est unp-groupe est contenu dans un ´el´ement deS_p(G).

3) Tous les éléments de S_p(G) sont conjugués.

4) On a |G| ≡0 mod CardSp(G).

5) On a CardS_p(G)≡1 modp.

Démonstration. Soit r le plus grand entier tel que p^r divise |G|. Alors|G|=p^rm, oùm est un entier premier à p.

Le groupeGagit par translations à gauche sur l’ensembleBdes parties àp^réléments de G. Le cardinal de B est égal à C_p^pr^rm, et, d’après le lemme, n’est pas divisible par p. Comme B est l’union disjointe de ses orbites sous l’action de G, il existe une orbite C dont le cardinal est premier à p. Soit donc C un élément de C. On a CardC = |G|/|Stab(C)|; par suite, |Stab(C)| est de la forme p^rd, où d est un entier divisant m.

Sic est un élément deC, l’application StabC→ C qui à tout g∈Stab(C) associe gc est injective. Donc |Stab(C)| ≤ CardC = p^r, et d = 1. Donc Stab(C) est un p-sous-groupe de Sylow deG, d’où 1).

Soit donc P un p-sous-groupe de Sylow de G. Si H est un sous-groupe de G qui est un p-groupe, il agit à gauche sur l’ensemble des classes à gauche A = G/P. On a CardA = |G|/|P| = m. Or CardA^H ≡ CardA = m 6≡ 0 modp. Il existe donc un élément D de A qui est un point fixe sous l’action de H; il existe x₀ ∈ G tel que D = x₀P. Alors Hx₀P ⊂ x₀P, d’où Hx₀ ⊂ x₀P, et H ⊂ x₀P x⁻¹₀ ; le groupe H est donc contenu dans un conjugué deP, donc dans unp-sous-groupe de Sylow deG; d’où 2).

Soit à présent P^′ un autre p-sous-groupe de Sylow de G. Il s’agit d’un p-groupe, donc, d’après la démonstration ci-dessus, il existex₀ ∈Gtel queP^′⊂x⁻¹₀ P x₀. Comme P^′ etx⁻¹₀ P x0ont même cardinal,P^′ est égal àx⁻¹₀ P x0, et est donc conjugué àP. D’où 3).

L’assertion 3) signifie queGagit transitivement par automorphismes intérieurs sur Sp(G). Par suite, CardSp(G) =|G|/|H|, oùH est le stabilisateur de l’un des éléments deS_p(G), et CardS_p(G) divise|G|, d’où 4).

Soit P un élément de S_p(G); P agit par automorphismes intérieurs sur S_p(G), et P est un point fixe sous cette action; comme P est un p-groupe, on a CardS_p(G) ≡ CardS_p(G)^P modp; pour prouver l’assertion 5), il suffit donc de démontrer queP est l’unique élément deS_p(G)^P.

Supposons donc qu’un élément Q∈S_p(G) est un point fixe. SoitG^′ le sous-groupe de Gégal à {g ∈G;gQg⁻¹ =Q}. Il contient P et Q; comme |G^′|divise |G|, P etQ sont des p-sous-groupes de Sylow deG^′, donc, d’après 2), ils sont conjugués dans G^′. Il existe donc σ ∈G^′ tel que σQσ⁻¹ =P. Or, puisqueσ ∈ G^′, on a σQσ⁻¹ = Q, et Q=P. D’où 5).

(18)

4 Groupes quotients

4.1 Sous-groupes distingu´es d’un groupe

Proposition 4.1.1 Soit H un sous-groupe d’un groupe G. Les assertions suivantes sont ´equivalentes:

i) Pour tout g∈G, gHg⁻¹ ⊂H.

ii) Pour tout g∈G, gHg⁻¹ =H.

iii) G/H =H\G.

iv) Si C et C^′ sont deux éléments deG/H, CC^′ est un élément de G/H. v) Pour tout x, x^′ ∈G, on a(xH)(x^′H) =xx^′H.

vi) Il existe une unique structure de groupes sur G/H telle que l’application canon- iqueρ: G→G/H soit un morphisme de groupes.

vii) Il existe un groupe G^′ et un morphisme de groupes f : G→ G^′ tel que H = kerf.

Démonstration. Supposons i) vérifiée. Pour tout élément g de G, l’assertion i) est vraie pour g⁻¹, donc g⁻¹Hg ⊂H, soit, en multipliant à gauche par g et à droite par g⁻¹,H⊂gHg⁻¹. Donc, pour toutg,H=gHg⁻¹.

Supposons ii) vérifiéee. Si g est un élément deG, on a donc gH =Hg; la classe à gauche degest donc égale à sa classe à droite, d’où iii).

Supposons iii) vérifiée, et soientC =xH etC^′ =x^′H deux éléments de G/H. On aCC^′ =xHx^′H=xx^′HH=xx^′H, doncCC^′∈G/H.

Supposons iv) vérifiée. Pour tout couple (x, x^′) d’éléments de G, xHx^′H est une classe d’équivalence; c’est donc la classe d’un quelconque de ses éléments, donc de x×1×x^′ ×1 =xx^′. Par suite, xHx^′H = xx^′H. Si c= xH et C^′ = x^′H sont deux

éléments deG/H,CC^′ =gg^′H est un élément de G/H, d’où v).

Supposons v) vérifiée. L’application ρ vérifie donc la relation ρ(xx^′) = ρ(x)ρ(x^′).

D’apr`es 1.5.1, il existe donc une unique structure de groupes surρ(G) =G/H telle que ρsoit un morphisme de groupes.

Supposons vi) vérifiée; on a kerρ = ρ⁻¹(ρ({1}) = ρ⁻¹(H) = H, d’où vii), en prenantG^′ =G/H etf =ρ.

Enfin, soit f : G → G^′ un morphisme tel que H = kerf. Si g ∈ G, on a f(gHg⁻¹) =f(g)f(H)f(g⁻¹) =f(g)f(g⁻¹) = 1s, donc gHg⁻¹ ⊂kerf =H, d’o`u i).

Définition 4.1.1 Soit G un groupe, et H un sous-groupe de G. On dit que H est distingué dans G s’il possède l’une des propriétés équivalentes de la proposition ci- dessus. Dans ce cas, G/H, muni de sa structure de groupes telle que ρ : G→ G/H est un morphisme, est appelé le groupe quotient de G parH.

Remarques.–1) Soit G un groupe. Les sous-groupes de G égaux à {1} et à Gsont distingués dansG.

2) SiGest un groupe commutatif, tout sous-groupe est distingu´e.

3) Soit G un groupe, H un sous-groupe de G, K un sous-groupe de H. Si K est distingué dansG,K est distingué dansH. Par contre, le fait queK soit distingué dans H n’implique en général pas queK soit distingué dansG.

(19)

4) Soit G un groupe, et H un sous-groupe distingué de G. Soit ρ : G → S(H) l’application définie par ρ(g)(x) =gxg⁻¹. L’application ρ est un homomorphisme de groupes deG dans Aut(H), appelée la représentation par automorphismes intérieurs de Gsur H. De même, tout sous-groupe K de G agit par automorphismes intérieurs sur le sous-groupe distinguéH.

Proposition 4.1.2 Soient G et G^′ deux groupes, et f : G→G^′ un homomorphisme de groupes.

i) Si H^′ est distingué dans G^′, f⁻¹(H^′) est distingué dans G. En particulier, le noyau kerf de f est distingué.

ii) Supposons de plus f surjectif. L’image de tout sous-groupe distingu´e de G est alors un sous-groupe distingu´e de G^′.

L’application h7→f(H) est une bijection de l’ensemble des sous-groupes distingu´es deG contenant kerf sur l’ensemble des sous-groupes distingu´es de G^′.

D´emonstration. Preuve de i): Soit h ∈ H = f⁻¹(H^′). Pour tout g ∈ G, on a f(ghg⁻¹) =f(g)f(h)f(g)⁻¹ ∈f(g)H^′f(g)⁻¹ =H^′. Doncghg⁻¹ ∈H, etgHg⁻¹⊂H.

Preuve de ii): Supposons f surjectif. Soit H un sous-groupe distingu´e de G, et soit H^′ = f(H). Si y ∈ G^′, il existe x ∈ G tel que y = f(x). Par suite, yH^′y⁻¹ = f(x)f(H)f(x)⁻¹=f(xHx⁻¹) =f(H) =H^′, doncH^′ est distingu´e dansG^′.

La dernière assertion résulte du fait queH7→f(H) est une bijection de l’ensemble des sous-groupes deG contenant kerf sur l’ensemble des sous-groupes de G^′; d’après ii), l’image de l’ensemble des sous-groupes distingués deG contenant H est contenue dans les sous-groupes distingués deG^′; réciproquement, d’aprés i), si H^′ est un sous- groupe distingué de G^′, H = f⁻¹(H^′) est un sous-groupe distingué de H contenant kerf, etf(H) =H^′, carf est surjective, d’où le résultat. subsectionGroupes quotients Théorème 4.1.1 Soit f : G→G^′ un homomorphisme de groupes,H le noyau de f, etρ: G→G/H la surjection canonique. Il existe un isomorphisme f˜: G/H →f(G) tel quef =i◦f˜◦ρ, où i: f(G)→G^′ est l’injection canonique de f(G) dans G^′. Soit R la relation d’équivalence sur G associée à f. Deux éléments x et x^′ de Gsont dans la même classe si et seulement sif(x) =f(x^′), c’est-à-dire si f(x⁻¹x^′) = 1, donc si x⁻¹x^′ ∈ H. Par suite, la classe de x modulo R est l’ensemble xH, c’est-à-dire la classe à gauche de x modulo le groupeH.

On a doncG/R=G/H etf =i◦f˜◦ρ, o`u ˜f est une bijection deG/H surf(G).

De plus, soient C et C^′ les classes de deux éléments x etx^′ de G. Alors ˜f(CC^′) = f(Cl(xx˜ ^′) =f(xx^′) =f(x)f(x^′) = ˜f(C) ˜f(C^′). D’où le théorème.

Corollaire.– Soit f : G → G^′ un homomorphisme de groupes surjectif. Le groupe G^′ est alors isomorphe au groupe quotient G/kerf.

C’est clair.

Théorème 4.1.2 Soit G un groupe, H un sous-groupe distingué de G, et K un sous- groupe de H distingué dans G.

La partie H/K de G/K formée des classes des éléments de H modulo K est un sous-groupe distingué de G/K.

Si ρ_H (resp. ρ_K, resp. ρ_H/K) est la surjection canonique de G sur G/H (resp. de Gsur G/K, resp. deG/K sur(G/K)/(H/K)), il existe un isomorphismeφ: G/H → (G/K)/(H/K) tel que φ◦ρ_H =ρ_H/K◦ρ_K.

(20)

Démonstration. CommeH est distingué dansG, et que ρ_K est surjective, H/K = ρ_K(H) est un sous-groupe distingué deG/K.

Notons f =ρ_H/K◦ρK. On a kerf =f⁻¹(1) = ρ⁻¹_K (ρ⁻¹_H/K(1)) = ρ⁻¹_K (H/K) = H, donc, d’après la proposition précédente,f =φ◦ρ_H, oùφ: G/H →(G/K)/(H/K) est un isomorphisme.

Théorème 4.1.3 Soit f : G→G^′ un homomorphisme de groupes,H le noyau de f, K un sous-groupe distingué de G, etρ_K : G→G/K la surjection canonique. Il existe un homomorphisme de groupes g: G/K →G^′ telle quef =g◦ρ_K si et seulement si K est un sous-groupe de H.

D´emonstration. Supposons que g existe. Alors f(K) = g(ρ(K)) = g(1) = 1, donc K⊂H.

Réciproquement, supposons queK ⊂H. SiR est la relation d’équivalence associée

`

aK, on a xRy ⇒f(x) =f(y); le résultat est alors une conséquence évidente de 1.1.1 et de 1.5.1.

Remarque.-Soitf : G→S(X) une représentation d’un groupeGsur un ensemble X, et H = kerf; la représentation ˜f : G/H →S(X) déduite def a les mêmes orbites quef; en particulier, si Gopère transitivement surX, il en est de même deG/H. 4.2 Les groupes Z/nZ

Proposition 4.2.1 Les sous-groupes de Zsont les parties de Zde la forme nZ, avec n∈Z, n≥0.

Démonstration. Pour tout n∈Z,nZest clairement un sous-groupe deZ. Récipro- quement, soit H un sous-groupe de G; si H = {0}, H est bien de la forme nZ, avec n= 0. SiH 6={0}, il existe un élément x6= 0 dansH.

Six <0,−xest>0, donc l’ensembleA={y∈H, y >0}est non vide, et a donc un plus petit élémentn. Sim∈H, on a, par division euclidienne dem parn,m=qn+r, avec 0 ≤r < n et q ∈ Z. Comme m et nq sont des éléments de H, r =m−qn est un élément deH. Si r 6= 0, r est un élément de A, ce qui n’est pas possible, puisque r < n. Doncr = 0,m=qn etH=nZ.

CommeZest commutatif, les sous-groupesnZsont distingués dansZ, et on définit ainsi les groupes quotient Z/nZ. Soit ρ : Z→Z/nZ est le morphisme canonique; si m etm^′ sont deux éléments de Z, on a ρ(m) =ρ(m^′) si et seulement sim−m^′ ∈nZ, c’est-à-dire si et seulement simetm^′ ont le même reste par la division euclidienne par n. Par suite, le groupeZ/nZest fini, d’ordren.

4.3 Sous-groupe engendré par un élément, groupes cycliques

Proposition 4.3.1 Soit G un groupe, I un ensemble, et H_i, i ∈ I, une famille de sous-groupes deG. Alors ∩i∈IH_i est un sous-groupe de G.

C’est clair.

(21)

Définition 4.3.1 Soit Aune partie d’un groupe A. Le sous-groupe deGengendré par A est par définition l’intersection de tous les sous-groupes de G contenant A. C’est le plus petit sous-groupe deG contenant A.

Notation.-Soit Gun groupe, x∈G, etn∈Z. Sin >0, on notexⁿ l’élément de Gégal à x×. . . x(nfois). Sin= 0, on note xⁿ l’élément neutre 1 de G; si n≤0, on notexⁿ le symétrique dex⁻ⁿ.

Proposition 4.3.2 SoitGun groupe, etxun élément deG. L’application φ_x : Z→G définie par φ_x(n) =xⁿ est un morphisme de groupes.

L’image φ_x(Z) de Z par φ_x est le sous-groupe engendr´e par x (i.e. le plus petit sous-groupe deG contenant x).

D´emonstration. Si n et m sont ≥ 0, il est clair que x^n+m = xⁿx^m. Si n et m sont ≤ 0, on a donc x^−n−m = x^−m−n = x^−mx⁻ⁿ; par suite, x^n+m = (x^−n−m)⁻¹ = (x⁻ⁿ)⁻¹(x^−m)⁻¹ = xⁿx^m; si n≥ 0,m ≤ 0 et n+m ≥0, on a x^n+mx^−m =xⁿ, donc x^n+m = xⁿx^m; enfin, si n ≥ 0, m ≤ 0 et n+m ≤ 0, on a x⁻ⁿx^n+m = x^m, d’o`u x^n+m=xⁿx^m. Doncφ_x est un morphisme de groupes.

Soit < x >le sous-groupe deG engendr´e par x. Pour toutn≥0, il contient donc xⁿ, ainsi que (xⁿ)⁻¹=x⁻ⁿ. Il contient doncφ_x(Z). Maisφ_x(Z), ´etant un sous-groupe deG contenantx, contient< x >; doncφ(Z) =< x >.

Lorsque le groupeGest noté additivement, on notenxl’élément φx(n). Le fait queφx

est un homomorphisme s’exprime alors par la formule (n+m)x=nx+mx.

Définition 4.3.2 Soit G un groupe, et x un élément de G. Soit < x > le groupe engendré par x. On dit que x est d’ordre infini (resp. fini) si < x >est un ensemble infini (resp. fini). Si< x >est fini, l’ordre dexest par définition le cardinal de< x >.

Proposition 4.3.3 Soit Gun groupe, noté multiplicativement, et x un élément deG.

Si x est d’ordre infini, < x > est un groupe isomorphe `a Z. Si x est d’ordre fini n,

< x >est un groupe isomorphe `a Z/nZ.

L’ordre de x est alors le plus petit entier n≥1 tel quexⁿ= 1.

D´emonstration. Soit φ_x : Z → G l’homomorphisme d´efini dans la proposition ci-dessus.

Le noyau deφ_x est de la formenZ, avecn≥0. Sin= 0, φ_x est injective; par suite

< x >est isomorphe `aZ(et x est d’ordre infini).

Supposons quen≥1;nest alors le plus petit entier≥1 tel queφ_x(n) = 1,i.e. xⁿ= 1. D’après la propriété universelle des groupes quotient, il existe un homomorphisme injectif ψ : Z/nZ → G tel que φ_x = ψ◦ρ, où ρ : Z → Z/nZ est la surjection canonique. Commeψ(Z/nZ) =< x >, le groupe< x > est isomorphe àZ/nZ.

Corollaire 1–Soit G un groupe, x un élément de G d’ordre k, et m un entier. Les assertions suivantes sont équivalentes:

i) x^m= 1 ii) kdivise m.

(22)

D´emonstration. En effet, l’ensemble des m tels que x^m= 1 est le noyau de φ_x, soit kZ.

Corollaire 2–Soit G un groupe fini. Pour tout x∈G, on a x^|G|= 1.

Démonstration. C’est immédiat d’après le corollaire précédent, une fois remarqué que l’ordre de< x >divise|G|.

Corollaire 3.–SoitG un groupe fini; sip est un nombre premier divisant l’ordre de G, il existe un ´el´ement de G d’ordre p.

Démonstration. le groupe G contient un p-sous-groupe de Sylow P, qui n’est pas réduit à{1}puisquepdivise l’ordre deG. Soitxun élément deP, distinct de l’élément neutre; son ordre est égal àpⁿ, avecn≥1. Par suite, Gpossède un élément d’ordrep,

`

a savoirx^pⁿ⁻¹.

D´efinition 4.3.3 Un groupe G est dit cyclique s’il existe x ∈ G tel que G =< x >.

Un élémentx∈G tel queG=< x > est appelé un générateur de G.

Exemples.– 1) Zest un groupe cyclique. Il a deux g´en´erateurs: −1 et 1.

2) Z/nZ est un groupe cyclique. Ses générateurs sont les classes des entiers m premiers à n.

3) Tout groupe Gà p éléments, p premier, est cyclique. En effet, si x∈G,x 6= 1, l’ordre dexdivisepet n’est pas égal à 1. Donc l’ordre dexest égal àp, et G=< x >.

Proposition 4.3.4 Soit G un groupe cyclique. S’il est infini, il est isomorphe `a Z.

S’il est fini et d’ordre n, il est isomorphe `a Z/nZ.

C’est immédiat d’après la proposition précédente.

Corollaire 1.–Deux groupes cycliques de mˆeme cardinal sont isomorphes.

Corollaire 2.–Soit G un groupe cyclique d’ordre n, etσ un générateur de G. Pour tout diviseurdden, il existe un et un seul sous-groupe deG d’ordre d. Ce sous-groupe est cyclique, engendré parσ^n/d.

Démonstration. Il suffit de le démontrer pour le groupe G= Z/nZ. Soitρ : Z→ Z/nZ le morphisme canonique. L’application H 7→ ρ(H) met en bijection les sous- groupes deZcontenant kerρ=nZavec les sous-groupes de G. Or les sous-groupes de ZcontenantnZsont les groupesmZ, oùmparcourt les diviseurs den. CommeZ/mZ est isomorphe à G/ρ(mZ), on a m=|G|/|ρ(mZ)|, d’où |rho(mZ)|=n/m. Par suite, pour tout d divisant n, ils existe un et un seul sous-groupe d’ordre d de G, à savoir ρ((n/d)Z), c’est-à-dire le groupe engendré par ρ(n/d). C’est donc un groupe cyclique.

Corollaire 3.– Soit G un groupe cyclique. Tout sous-groupe et tout groupe quotient de G est cyclique.

D´emonstration. SiG est infini, il est isomorphe `a Z; les sous-groupes de Z sont les groupesnZ, donc cycliques, et ses quotients sont les groupesZ/nZ, donc cycliques.

SiG est fini, il est isomorphe à Z/nZ, où n=|G|. Le corollaire précédent montre que les sous-groupes deG sont cycliques. Si H est un sous-groupe de G=< x >, où xest un générateur de G,H est distingué car Gest commutatif, et le groupe quotient G/H est cyclique, engendré parρ(x), oùρ: G→G/H est le morphisme canonique.