Th´eor`eme B.2.1 Tout corps fini est commutatif.
D´emonstration. Soit K un corps fini.
Pour tout x ∈ K, soit N(x) = {y ∈K; xy = yx}, et soit Z =∩x∈KN(x). Il est clair que, pour toutx ∈K, N(x) est un sous-corps de K, et que Z est un sous-corps commutatif deK, et de chaqueN(x).
Sin= [K/Z] etmx = [N(x)/Z], on d´eduit de la proposition (C.1.1) quemx divise n. Par suite, le polynˆome Xmx −1 divise Xn−1, (chaque racine du premier ´etant une racine du second), et, simx < n, les racines primitives n-i`emes de l’unit´e sont des racines de l’´el´ement fx de Z[X] quotient de Xn−1 par Xmx−1.
Par suite, fx est divisible par le polynˆome cyclotomique Φn, d`es que mx < n, i.e d`es quex6∈Z.
Faisons `a pr´esent op´ererK∗sur lui-mˆeme par automorphismes int´erieurs. L’´equation des classes s’´ecrit alors
|K∗| = Px|K∗|/|N(x)∗|, o`u x d´ecrit un syst`eme de repr´esentants des orbites de K∗. On a|K∗|=|N(x)∗|si et seulement si x∈Z. Par suite, si q est le cardinal deZ, comme CardK =qn et CardN(x) =qmx, on a
qn−1 =q−1 +X
x
(qn−1)/(qmx−1) =q−1 +X
x
fx(q), o`ux d´ecrit une famille de repr´esentants des orbites non r´eduites `a un ´el´ement.
Comme Φn(q) divise qn −1 et chacun des fx(q), il divise q −1. Or Φn(q) = Q
(q−e2kiπ/n), o`ukd´esigne l’ensemble desktels que 1≤k≤npremiers avecn. Pour tout couple de nombres complexes z, z′, on a |z−z′| ≥ ||z| − |z′||, avec ´egalit´e si et seulement si les arguments de z et z′ sont ´egaux. Si n ≥ 2, l’argument 2kiπ/n n’est jamais nul, contrairement `a celui de q. Donc |Φ(q)|>(q−1)φ(n) ≥q−1, et Φ(q) ne peut pas diviserq−1. Doncn= 1,K =Z, et K est commutatif.
C Extensions de corps.
C.1 Extensions de corps
Soit K un corps, et k un sous-corps de K; de mani`ere ´evidente, K est un espace vectoriel surk, la loi externe .: k×K →K ´etant donn´ee parx.y=xy.
D´efinition C.1.1 Soientk et K deux corps.
1) On dit que K est une extension de k siK contient k.
2) Le degr´e de l’extension K/k est la dimension du k-espace vectoriel K. On note [k/k] ce degr´e lorsqu’il est fini.
Proposition C.1.1 Soientk⊂K⊂Ltrois corps. Le degr´e deL/kest fini si et seule-ment si les degr´es deL/K et de K/k le sont. Dans ce cas, on a [L/k] = [L/K][K/k].
D´emonstration. Supposons [L/k] fini. Toute base du k-espace vectoriel L est un syst´eme g´en´erateur du K-espace vectoriel L, donc le degr´e de L/K est fini. De plus, comme le k-espace vectoriel K est un sous-espace du k-espace vectoriel L, il est de dimension finie, et le degr´e deK/k est fini.
R´eciproquement, supposons [L/K] et K/k] finis. Soient B = (l1, . . . , lm) (resp.
C= (e1, . . . , en)) une base deL/K (resp. deK/k), o`u m= [L/K] (resp. n= [K/k]).
Six ∈L, soient (xi) les coordonn´ees de x dans la base B, et, pour touti, (xji) les coordonn´ees dexi dans la baseC.
On ax=Pxili =Pxjiejli. Par suite, le syst`eme Ddes [L/K][K/k] ´el´ements ejli deL est un syst´‘eme g´en´erateur deL/k, qui est donc de degr´e fini.
Montrons que D est une base de L/k; si Pi,jxjiejli = 0, on a Pi(Pjxjiej)li = 0, donc, pour touti,B ´etant une base, Pjxjiej = 0. Comme C est une base de K/k, les xji sont nuls, et Dest une base de L/k. D’o`u la proposition.
C.1.1 Extensions alg´ebriques
Proposition C.1.2 Soit k un corps, K une extension de k, et x un ´el´ement de k.
Soit f : k[X]→K le morphisme d’anneaux d´efini par q7→q(x), k[x] l’image f(k[X]) de k[X] par f, et k(x) l’intersection des sous-corps de K contenant x et k (c’est-` a-dire le plus petit sous-corps de K contenant x et k). Les assertions suivantes sont
´equivalentes:
i) Il existe un unique polynˆome unitaire irr´eductible p∈k[X]tel que p(x) = 0.
ii) L’anneau k[x] est un corps.
iii) L’anneau k[x] est ´egal au corps k(x).
iv) Le corps k(x) est une extension finie de k.
v) Il existe un polynˆome non nul p∈k[X] tel que p(x) = 0.
D´emonstration. Soit I= kerf.
Supposons i) v´erifi´ee; le polynˆome p est alors un ´el´ement de I, et, comme il est irr´eductible, c’est un g´en´erateur de I. Donc I est maximal, k[X]/I est un corps, et k[x], qui lui est isomorphe, aussi. D’o`u ii).
Supposons ii) v´erifi´ee. Comme on a clairement k[x]⊂k(x), iii) est v´erifi´ee.
Supposons iii) v´erifi´ee. Si l’anneau k[x] = f(k[X]) est un corps, l’id´eal kerf est maximal, donc ´egal `a (p), o`u p est irr´eductible de degr´e n ≥ 1. Par suite, le corps k(x) =k[x] =f(k[X]), ´etant isomorphe, comme k-espace vectoriel, `a k[X]/(p), est de degr´en, donc fini sur k, d’o`u iv).
Si iv) est v´erifi´ee, et si k(x) est de degr´e nsur k, lesn+ 1 ´el´ements {1, x, . . . , xn} de k(x) sont li´es, et il existe des ´el´ements ai ∈ k, non tous nuls, tels que a0+a1x+ . . .+anxn= 0; le polynˆomep(X) =a0+. . .+anXn est donc tel quep(x) = 0, soit v).
Supposons v) v´erifi´ee. L’id´eal I = kerf n’est donc pas nul. Soit p un g´en´erateur de I, que l’on peut supposer unitaire. (C’est donc le seul g´en´erateur unitaire de I).
Commek[X]/I est isomorphe `ak[x], qui est un sous-anneau deK, il est int`egre, doncp est irr´eductible, et il existe un polynˆome unitaire irr´eductiblep∈k[X] tel quep(x) = 0.
Siq est un autre tel polynˆome, q∈I, donc q est multiple de p, donc q=λp, p∈k[x];
commep etq sont unitaires,p=q, d’o`u i).
D´efinition C.1.2 Soit K une extension d’un corps k. Un ´el´ement x de K v´erifiant les conditions ´equivalentes de la proposition pr´ec´edente est dit alg´ebrique sur k. Si x et alg´ebrique sur k, l’unique polynˆome unitaire irr´eductible p ∈k[X] tel que p(x) = 0 s’appelle le polynˆome minimal de x.
D´efinition C.1.3 Soitk un corps, et K une extension de k.
1) Le corps K est alg´ebrique sur k si ses ´el´ements sont alg´ebriques sur k.
3) Le corps kest alg´ebriquement clos si tout ´el´ement p∈k[X]de degr´e ≥1 admet une racine dans k.
4) L’extension K de k est une clˆoture alg´ebrique de k si K est alg´ebrique sur k et alg´ebriquement clos.
Proposition C.1.3 1) SiK une extension finie de k, K est alg´ebrique sur k.
2) Si L est une extension alg´ebrique de K et K une extension alg´ebrique de k, L est une extension alg´ebrique dek.
3) Soit K une extension d’un corps k; l’ensemble des ´el´ements de K alg´ebriques sur k est un sous-corps de K.
4) Si K est une extension alg´ebrique d’un corps k alg´ebriquement clos, K=k.
D´emonstration. Supposons K de dimension finie n sur k. Pour tout x ∈ K, le sous-corpsk(x) deK est alors de dimension finie surk, et xest alg´ebrique surk, d’o`u 1).
D´emontrons 2). Supposons queL (resp. K) soit alg´ebrique sur K (resp. k). Soit x ∈ L; il existe p(X) = a0+. . .+anXn ∈ K[X], non nul, tel que p(x) = 0; pour i tel que 0≤ i≤ n, soit ki = k(a0, . . . , ai). On a k ⊂k0 ⊂. . . ⊂kn, et, comme les ai sont alg´ebriques surk, ki+1 est une extension finie de ki pour tout i, donc kn est une extension finie dek. Comme x est alg´ebrique surkn, l’extension kn[x] est finie sur kn, donc surk, etx est alg´ebrique sur k, d’o`u 2).
D´emontrons 3). Soientx et y deux ´el´ements de K alg´ebriques sur k; comme y est alg´ebrique surk, il l’est surk(x), et l’extension k(x)(y) dek(x) est donc finie; comme k(x) est une extension finie de k, k(x)(y) est aussi une extension finie sur k, et ses
´el´ements sont alg´ebriques surk. En particulier,x+y,xy,−xle sont, ainsi que 1/x si x6= 0. D’o`u 3).
D´emontrons 4); soit x ∈ K, et px ∈ k[X] le polynˆome minimal de x. D’apr`es la d´efinition d’un corps alg´ebriquement clos, il admet une raciney∈k, donc est divisible parX−y. De plus, il est irr´eductible, donc est ´egal `aX−y, etx=y∈k, d’o`u 4).
Th´eor`eme C.1.1 Soit K une extension d’un corps k, σ : k → k′ un isomorphisme (d’anneaux), et K′ une extension alg´ebriquement close de k′. Si x∈K est alg´ebrique sur k, il existe un morphisme σ˜ : k[x]→K′ dont la restriction `a k soit ´egale `a σ.
D´emonstration. Soit p le polynˆome minimal de x, et f : k[X] → K est de´fini par f(q) = q(x). On a alors un isomorphisme ˜f : A = k[X]/(p) → k[x]. Soit φ: k[X]→k′[X] l’isomorphisme d’anneaux d´efini parφ(PaiXi) =Pσ(ai)Xi, et soit q =φ(p). Par passage au quotient, on a un isomorphisme ˜φ: k[X]/(p) → k′[X]/(q);
commeK′ est alg´ebriquement clos, il existe y∈K′ tel que q(y) = 0; si g: k′[X]→K′ est le morphisme d´efini par g(P) = P(y), on en d´eduit par passage au quotient un isomorphisme ˜g : k′[X]/(q) → k′[y], d’o`u un isomorphisme ˜σ = ˜f−1◦φ˜◦g˜: k[x]→ k′[y], donc on v´erifie imm´ediatement que sa restriction `ak est ´egale `a σ.