Dans toute cette section, les anneaux consid´er´es seront suppos´es commutatifs.
D´efinition 8.7.1 Soit A un anneau. On dit qu’une suite (an), (n≥0) d’´el´ements de Aest nulle presque partout si tous ses termes sauf un nombre fini sont nuls, c’est-`a-dire s’il existeN tel quen≥N ⇒an= 0.
Si (an) et (bn) sont deux suites nulles presque partout, on d´efinit leur somme (cn) = (an) + (bn) et leur produit (dn) = (an)×(bn) par les formules
∀n≥0, cn=an+bn, dn=
n
X
k=0
akbn−k.
Il est clair que les suites (cn) et (dn) sont nulles presque partout (SiN1 etN2 sont tels que n≥ N1 ⇒ an = 0 etn ≥N2 ⇒bn = 0, alors n ≥sup(N1, N2) ⇒ cn = 0 et n≥N1+N2⇒dn= 0.)
Proposition 8.7.1 L’ensemble des suites de A presque partout nulles, muni des lois de composition + et ×, est un anneau commutatif.
D´emonstration. Il s’agit de calculs sans difficult´e, laiss´es en exercice.
D´efinition 8.7.2 L’anneau des polynˆomesA[X]`a une ind´etermin´ee X est l’ensemble des suites d’´el´ements de A nulles presque partout, muni des lois+ et× ci-dessus; une telle suite(an) est not´ee PNk=0anXn, o`u N est tel quen≥N ⇒an= 0.
On retrouve ainsi l’addition et la multiplication usuelles des polynˆomes.
On munit l’ensemble {−∞} ∪N de la structure d’ordre qui prolonge celle deN et telle que−∞< x, pour tout x∈N, et de la loi d’addition qui prolonge celle deN et telle que−∞+x=x+ (−∞) =−∞, pour toutx∈N.
D´efinition 8.7.3 Soit A un anneau, et P = PanXn un ´el´ement de A[X]. Le degr´e deP, not´edegP, est l’´el´ement de{−∞} ∪N´egal `a−∞siP = 0, et `asup{n; an6= 0}
sinon.
D´efinition 8.7.4 Un ´el´ement P ∈ A[X] est dit unitaire s’il est non nul et si son coefficient de plus haut degr´e est ´egal `a 1.
Proposition 8.7.2 L’application ρ: A→A[X]d´efinie par ρ(a) =apour tout a∈A est un morphisme d’anneaux injectif; on a ρ(A) ={P ∈A[X]; degP ≤0}.
D´emonstration. C’est clair.
Remarque.– Pour simplifier, on identifie usuellement l’anneau A `a son image ρ(A) dansA[X]. Cela permet de voir Acomme un sous-anneau deA[X].
Proposition 8.7.3 Soit A un anneau, et P et Qdeux ´el´ements de A[X]. On a deg(P +Q)≤sup(degP,degQ), deg(P Q)≤degP+ degQ.
De plus, si A est un anneau int`egre, deg(P Q) = degP+ degQ.
D´emonstration. Le fait que deg(P +Q) ≤ sup(degP,degQ) et que deg(P Q) ≤ degP+degQest clair. SiP est nul, on a deg(P Q) = deg 0 =−∞=−∞+degQ=−∞.
SiP etQsont non nuls, de degr´e respectivementn etm, soient aetbleurs termes de plus haut degr´e respectifs. Le coefficient de degr´en+m deP Qest ab; il est donc non nul d`es queA est int`egre.
Proposition 8.7.4 Soit A un anneau. L’anneau A[X] est int`egre si et seulement si l’anneauA est int`egre.
D´emonstration. SiA[X] est int`egre, A, ´etant isomorphe `a un sous-anneau deA[X], est donc int`egre.
R´eciproquement, soit A un anneau int`egre. Si P etQ sont des ´el´ements non nuls de A[X], d’apr`es la proposition pr´ec´edente, le degr´e de P Qest ´egal `a degP+ degQ, et est donc≥0. Par suite,P Qn’est pas nul, et A[X] est int`egre.
Proposition 8.7.5 Soit A un anneau, etP etQ deux ´el´ements deA[X]. On suppose que le polynˆome Q est non nul, et que son terme de plus haut degr´e est inversible dans A. Il existe un unique couple (S, R) d’´el´ements de A[X], avec degR <degQ, tels que P =QS+R.
Le polynˆome Q (resp. R) est appel´e le quotient (resp. le reste) de P par Q.
D´emonstration. SoitQun polynˆome de degr´em≥0 dont le coefficient de plus haut degr’eq est inversible. D´emontrons l’existence deS etR par r´ecurrence sur le degr´en deP. Si degP <degQ, il suffit de prendreS = 1 etR= 0. L’existence de S etR est donc assur´ee d`es que degP <degQ.
Soit P un polynˆome de degr´e n ≥degQ et an son terme de plus haut degr´e. Le polynˆome P1 = P −Qq−1anXn−m est de degr´e < n, donc il existe S1 et R1 tels que P1 = QS1 +R1. Par suite, P = P1 +Qq−1anXn−m = QS +R, avec R = R1 et S=S1+anq−1Xn−m.
D’o`u l’existence de R et S. Quant `a l’unicit´e, supposons que P = QS +R = QU +V, avec sup(degR,degV) < degQ. Alors Q(S −U) = V −R. Supposons S−U 6= 0. Si b est le coefficient de plus haut degr´e de S−U, le coefficient de degr´e m+ deg(S−U) deQ(S−U) est ´egal `aqb, et est donc non nul, puisqueq est inversible.
Donc deg(Q(S−U)≥degQ=m, et deg(V −R)≤sup(degV,degR)<degQ, ce qui est impossible. Par suite,S=U etV =R, d’o`u l’unicit´e.
Corollaire.– Soit k un corps. Pour tout couple de polynˆomes P et Q de k[X], Q non nul, il existe un unique couple de polynˆomes S et R, avec degR <degQ, tel que P =QS+R.
D´efinition 8.7.5 Soit A un anneau, et P et Q deux ´el´ements deA[X]. On dit queP divise Q(ou que Q est multiple deP) s’il existe R∈A[X] tel queQ=RP.
Soit AA l’ensemble des applications de A dans A. Muni de l’addition et de la multiplication des fonctions,AA est un anneau.
Proposition 8.7.6 Soit A un anneau; l’application ϕ : A[X] → AA qui `a tout polynˆome P = PAnXn ∈ A[X] associe l’application a 7→ P(a) = Panan est un morphisme d’anneaux.
D´emonstration. C’est clair.
D´efinition 8.7.6 Soit A un anneau, a un ´el´ement de A, et P un ´el´ement de A[X].
On dit que a est une racine (ou un z´ero) de P si P(a) = 0. On dit que a est racine multiple de P si(X−a)2 diviseP.
Proposition 8.7.7 Soit A un anneau, a un ´el´ement de A et P un ´el´ement de A[X].
Le reste de la division deP par le polynˆome unitaire X−aest ´egal `a P(a).
D´emonstration. Si Q et R sont les restes de la division de P par X−a, on a P(X) = (X−a)Q(X) +R(X), o`u degR ≤ 0. Donc R est un polynˆome constant;
commeP(a) = 0×Q(a) +R(a),R est le polynˆome constant ´egal `a P(a).
Corollaire.– Soit A un anneau, P un ´el´ement de A[X], et a un ´el´ement de A. Le polynˆome P est divisible par X−a si et seulement si aest une racine de P.
Proposition 8.7.8 Soit Aun anneau int´egre, et P un ´el´ement deA[X]de degr´em≥ 0, Le nombre de racines deP dans A est inf´erieur ou ´egal `a m.
D´emonstration. On d´emontre le r´esultat par r´ecurrence sur m. Pour m = 0, c’est clair: le polynˆomeP est un polynˆome constant non nul, il ne peut donc pas s’annuler.
Supposons le r´esultat vrai pour les polynˆomes de degr´e≤m−1. SoitP un polynˆome de degr´em, et soita une racine deP. AlorsP = (X−a)Q, o`u Qest de degr´em−1.
DoncQa au plusm−1 racinesa1, . . . , ak,k≤m−1. SiP(b) = 0, on a (b−a)Q(b) = 0, donc, A ´etant int`egre, b = a ou b = ai, avec 1 ≤ i ≤ m−1. Donc P a au plus m racines.
D´efinition 8.7.7 Soit A un anneau, l’application D : A[X] → A[X] d´efinie par D(PanXn) = PnanXn−1 est appel´ee l’application de d´erivation de A[X]. On note souventP′=D(P)l’image d’un polynˆomeP parD, etP′ est appel´e le polynˆome d´eriv´e deP.
Proposition 8.7.9 Soit A un anneau. Pour tout couple d’´el´ements P et Q de A[X], et tout ´el´ement a∈A, on a
D(P +Q) =D(P) +D(Q), D(aP) =aD(P) et D(P Q) =P D(Q) +QD(P).
D´emonstration. Le calcul, facile, est laiss´e en exercice.
Proposition 8.7.10 SoitA un anneau, et P un ´el´ement de A[X]. Un ´el´ementa∈A est racine multiple deP si et seulement si P(a) =P′(a) = 0.
D´emonstration. Un ´el´ement a ∈ A est racine multiple de P si et seulement s’il existe m ≥ 2 tel que P = (X −a)2Q, avec Q ∈ A[X]. Alors, P(a) = 0, et D(P) = (X−a)2D(Q) + 2(X−a)Q, donc D(P)(a) = 0. R´eciproquement, supposons P(a) = D(P)(a) = 0. Comme P(a) = 0, il existe Q tel que P(X) = (X −a)Q(X). Donc D(P)(X) = (X−a)D(Q)(X) +Q(X), et 0 =D(P)(a) =Q(a), doncQ= (X−a)R, avecR ∈A[X], etP = (X−a)2R, doncaest racine multiple de P.
Remarque.– Soit k un corps, etP ∈ k[X]. On a degP′ ≤degP −1, mais il n’y a pas toujours ´egalit´e. Par exemple, si k est de caract´eristique un nombre premierp, (Xp−1)′ = 0. N´eanmoins, sikest de caract´eristique 0, on a toujours degP′= degP−1.
Proposition 8.7.11 Soient A et B deux anneaux, et f : A → B un morphisme d’anneaux. L’application f˜: A[X]→B[X]d´efinie par f˜(PaiXi) =Pf(ai)Xi est un morphisme d’anneaux, injectif (resp. surjectif, resp. bijectif ) si et seulement sif l’est.
C’est imm´ediat.
8.8 L’anneau k[X] et ses anneaux quotients