Produits semi-directs de groupes - Table des mati`eres

a n.

Définition 4.3.4 Soit n un entier > 0. L’indicateur d’Euler de n, noté φ(n), est le nombre d’entiersx compris entre 1 et n et premiers à n.

D’après la proposition précédente,φ(n) est donc le nombre de générateurs du groupe Z/nZ.

Th´eor`eme 4.3.1 (Formule d’Euler). Soit n un entier>0. On a n=^X

φ(d),

o`u dparcourt les diviseurs >0 de n.

Démonstration. Soit d est un diviseur de n, et G_d l’ensemble des éléments de G d’ordre d; les éléments de G_d sont les générateurs de l’unique sous-groupe H_d de G d’ordre d; donc CardG_d = φ(d). D’où le théorème, G étant l’union disjointe des ensemblesG_d.

4.4 Produits semi-directs de groupes

On rappelle que, siGest un groupe, on note Aut(G) le groupe des automorphismes de G(muni de la loi◦).

Définition 4.4.1 Soient K et N deux groupes, et ρ: K →Aut(N) un homomomor-phisme de groupes. Pour (k, n) ∈K×N, on note k.n=ρ(k)(n) l’opération à gauche deK sur N associée à ρ.

La loi de composition sur l’ensembleN ×K donn´ee par (n, k)(n^′, k^′) = (n(k.n^′), kk^′),

pour tout couple (n, k),(n^′, k^′) d’´el´ements de N ×K est une loi de groupe.

Démonstration. Vérifions l’associativité: pour (n, k),(n^′, k^′) et (n^′′, k^′′) éléments de N×K, on a ((n, k)(n^′, k^′))(n^′′, k^′′) = ((n(k.n^′), kk^′)(n^′′, k^′′) = (n(k.n^′)((kk^′).n^′′), kk^′k^′′) = (n(k.n^′)(k.(k^′n^′′), kk^′k^′′) et (n, k)((n^′, k^′)(n^′′, k^′′)) = (n, k)(n^′(k^′.n^′′), k^′k^′′)

= (n(k.(n^′(k^′.n^′′))), kk^′k^′′) = (n(k.n^′)(k.(k^′.n^′′)), kk^′k^′′), d’o`u l’associativit´e.

L’élément (1,1) est élément neutre, car, si (n, k) ∈ N ×K, on a (1,1)(n, k) = (1(1.n),1k) = (1n,1k) = (n, k) et (n, k)(1,1) = (n(k.1), k1) = (n1, k1) = (n, k).

Soit (n, k)∈ N ×K. L’élément (k⁻¹.n⁻¹, k⁻¹) est symétrique de (n, k). En effet, (n, k)(k⁻¹.n⁻¹, k⁻¹) = (n(k.(k⁻¹.n⁻¹)), kk⁻¹) = (nn⁻¹,1) = (1,1) et (k⁻¹.n⁻¹, k⁻¹)(n, k) = ((k⁻¹.n⁻¹)(k⁻¹.n), k⁻¹k) = (k⁻¹(n⁻¹n),1) = (k⁻¹(1),1) = (1,1).

Définition 4.4.2 Soient K et N deux groupes, et ρ : K → Aut(N) un homomo-morphisme de groupes. L’ensemble N ×K muni de la loi de groupes définie dans la proposition précédente est appelé le produit semi-direct deN par K (relativement à ρ), et est notéN ×ρK.

Proposition 4.4.1 Soient K et N deux groupes, et ρ : K → Aut(N) un homomo-morphisme de groupes. Le produit semi-directN ×ρK est ´egal au produit direct deN et deK si et seulement si ρ est la repr´esentation triviale (i.e. ∀k∈K, ρ(k) = Id_N).

Démonstration. Le produit semi-direct de N parK est égal au produit direct deN et deK si et seulement si, pour tout couple (n, k),(n^′, k^′) d’éléments de N ×K, on a (nn^′, kk^′) = (n(k.n^′), kk^′), i.e. nn^′ =n(k.n^′),i.e. n^′=k.n^′,i.e. ρ(k) = IdN, pour tout k∈K.

Théorème 4.4.1 Soient K et N deux groupes, et ρ : K → Aut(N) un homomo-morphisme de groupes. L’application u : N → N ×ρK qui à tout n ∈ N associe (n,1) (resp. l’application v : K → N ×_ρK qui à k ∈ K associe (1, k)) est un ho-momorphisme de groupes injectif. Si l’on note N₁ (resp. K₁) le groupe u(N) (resp.

v(K)), on a N₁∩K₁ ={1}, N₁ est un sous-groupe distingu´e deN ×ρK, et, pour tout (n, k)∈N ×K, on au(k.n) =v(k)u(n)v(k)⁻¹.

De plus, on a N ×ρK = N₁K₁ = K₁N₁. Plus pr´ecis´ement, soit x = (n, k) un

´el´ement de N ×ρK. Alors x=u(n)v(k) =v(k)u(k⁻¹.n).

Enfin, la projection µ : N ×_ρK → K d´efinie par (n, k) 7→ k est un morphisme de groupes surjectif de noyau N₁; le groupe K est donc isomorphe au groupe quotient N×ρK/N₁.

D´emonstration. On a, pour n, n^′ ∈ K, u(n)u(n^′) = (n,1)(n^′,1) = (n(1.n^′),1) = (nn^′,1) = u(nn^′), et, pour k, k^′ ∈ K, v(k)v(k^′) = (1, k)(1, k^′) = (1(k.1), kk^′) = (1, kk^′) = v(kk^′), donc u et v sont des homomorphismes de groupes, trivialement injectifs.

Six= (n, k)∈N₁∩K₁, on an=k= 1, doncx= 1. De plus, si x = (n, k) est un

élément deN×ρK un calcul immédiat montre quex=u(n)v(k) =v(k)u(k⁻¹.n). Par suite, pour (n, k)∈N×K, on av(k)u(n)v(k)⁻¹ =v(k)v(k⁻¹)u(k.n) =u(k.n).

Soit φ: N×ρK → K l’application définie par φ((n, k)) =k. Il est immédiat que c’est un morphisme de groupes surjectif. Son noyau est le groupe N₁, qui est donc distingué, et (N×ρK)/N1 est isomorphe à K.

R´eciproquement:

Théorème 4.4.2 Soit G un groupe, K et N deux sous-groupes de G tels que N est distingué dansG et N ∩K ={1}.

Soit ρ : K → Aut(N) la repr´esentation par automorphismes int´erieurs de K sur N.

Alors N K est un sous-groupe de G, et l’application f : N ×ρK → N K telle que f((n, k)) =nk est un isomorphisme.

Démonstration. Soient (n, k) et (n^′, k^′) deux éléments deN×ρK. Alors (n, k)(n^′, k^′) = (n(k.n^′), kk^′) = (n(kn^′k⁻¹), kk^′) = (nkn^′k⁻¹, kk^′). Doncf((n, k)(n^′, k^′)) =nkn^′k⁻¹kk^′ = nkn^′k^′=f((n, k))f((n^′, k^′)). Donc f est un homomorphisme de groupes.

Si x = (n, k) est un élément de kerf, on a f((n, k)) = 1, c’est-à-dire nk = 1, soit n = k⁻¹. Donc n ∈ N ∩K, et n = k = 1; f est donc injectif, et est donc un isomorphisme deN ×ρK sur N K.

Définition 4.4.3 Soit n un entier ≥ 2, et f : Z/nZ → Z/nZ l’automorphisme de Z/nZ défini par f(x) = −x. Soit ρ : Z/2Z → Aut(Z/nZ) le morphisme tel que ρ(1) = f. Le groupe diédral D_n est le produit semi-direct de Z/nZ par Z/2Z relativement à ρ.

Remarque.- Sin = 2, on a f = Id, et D₂ est donc le produit direct (Z/2Z)². Si n≥3, par contre, ρ n’est pas constant, et D_n n’est donc pas commutatif.

SoitC_n le sous-groupe deD_négal à u(Z/nZ), où uest le morphisme défini dans le théorème 4.4.1; d’après ce théorème,C_n est cyclique d’ordren et distingué dansD_n. Proposition 4.4.2 On conserve les notations ci-dessus. Si s∈D_n−C_n, sest d’ordre 2, et pour tout r∈C_n, on asrs=r⁻¹.

Démonstration. Soits₀=v(1), oùv est le morphisme défini dans le théorème 4.4.1;

s0 est d’ordre 2, et l’on a s0rs⁻¹₀ = r⁻¹, soit (s0r)² = 1. Comme Cn est d’indice 2 dans D_n, on a D_n −C_n = s₀C_n; tout élément s ∈ D_n−C_n s’écrit donc s₀r, avec r ∈ C_n, et est donc d’après ce qui précéde d’ordre divisant 2. Comme il n’est pas

égal à 1, il est d’ordre 2. Par ailleurs, si s = s0r, pour tout élément r^′ ∈ Cn, on a sr^′s = sr^′s⁻¹ = s₀rr^′r⁻¹s₀ = s₀r^′s₀ (car C_n, étant cyclique, est commutatif), d’où sr^′s=r^′−1.

On montre sans difficulté que le groupeD_nest en particulier isomorphe au groupe des isométries planes conservant les sommets d’un polygone régulier à n sommets.

Cet isomorphisme envoie le groupe C_n sur le groupe des rotations d’angle 2kπ/n, 0 ≤ k ≤ n −1, et les éléments de D_n −C_n correspondent aux symétries axiales conservant le polygone.

On a tracé ci-dessus les axes des symétries axiales conservant un triangle (n= 3), un carré (n= 4) et un hexagone (n= 6). Sinest impair, l’axe de chacune des symétries axiales passe par un et un seul sommet du polygone, alors que si n est pair, n/2 de ces axes joignent deux sommets opposés, etn/2 les milieux de deux côtés opposés. De plus, le centre deD_nest réduit à 1 sinest impair, et est le sous-groupe cyclique d’ordre 2 deCn sinest pair ≥4.

5 Groupes ab´ eliens

5.1 D´efinitions

Définition 5.1.1 Soit G un groupe. Un système d’éléments de G est la donnée d’un coupleA= (I, f) formé d’un ensemble d’indices I et d’une application f : I →G; un sous-systèmeB du systèmeAest formé d’une partieJ deI et de la fonctiong: J →G restriction def à J. On dit qu’un système est fini si son ensemble d’indices est fini.

Remarque.- Un système d’éléments de G est donc différent d’une partie, même or-donnée, de G; par exemple, soient g et h deux éléments distincts de G. Le système {g, h} est distinct du système{h, g}; le système {g, g} est différent du système{g}.

Par abus de langage, et pour simplifier les notations, lorsqu’aucune confusion n’est

a craindre, siA = (I, f) est un système d’éléments de G, on dira souvent g ∈A pour g ∈ f(I); si n ∈ N, et si I = {1, . . . , n}, on écrira A = {u₁, . . . , u_n}, où u_k = f(k);

notons que, sin= 0, A=∅.

Dans la suite de cette section, G est un groupe ab´elien; sa loi est not´ee +, son

élément neutre 0, et le symétrique dex est noté−x;

Définition 5.1.2 Soit G un groupe, et A un système d’éléments de G.

i) On dit que A est un système générateur de G si, pour tout élément g ∈ G, il existe un sous-système fini B ⊂A telle que g=^P_b∈Bx_bb, où les x_b (b ∈B) sont des

´el´ements de Z.

ii) On dit que A est un système libre si, pour tout sous-système fini B ⊂ A, la relation ^P_b∈Bx_bb = 0 (où les x_b sont des éléments de Z) entraˆıne x_b = 0 pour tout b∈B.

iii) On dit queAest une base deGsi c’est un système libre et générateur deG. Ceci est équivalent au fait que, pour tout g ∈ G, il existe une unique suite (x_g) d’entiers, g∈A, où les x_g sont nuls sauf un nombre fini d’entre eux, tel queg=^P_b∈Bx_gg.

iv) Un groupe abélien G admettant une base est appelé un groupe abélien libre.

v) Un groupe abélien admettant un système générateur fini est dit de type fini.

Remarque 1.- Par convention, le groupe G = {0} admet comme base le système ∅ (égal à (∅, f), où f : ∅ →Gest l’unique application de∅ dansG).

Remarque 2.- Supposons que A = (I, f) soit un système libre. L’application f est alors injective, et l’on a coutume d’identifier A à la partie de G égale à f(I), indicée par elle-même.

D´efinition 5.1.3 Soit G un groupe ab´elien, etH et H^′ deux sous-groupes de G.

On dit que Gest somme directe deH etH^′ (not´eG=H⊕H^′) si∀x∈G, il existe un unique couple (h, h^′)∈G×G^′, tel quex=h+h^′.

Il est immédiat queG=H⊕H^′ si et seulement si le morphismeH×H^′ →Gdéfini par (h, h^′) →h+h^′ est un isomorphisme, c’est-à-dire si et seulement si H∩H^′ ={0}

etG=H+H^′.

Définition 5.1.4 SoitGun groupe abélien libre, etBune base deG; pour tout élément v∈ B, on note v^∗ : G→ Zle morphisme de groupes défini par le fait que, pour tout x∈G, x=^Pv^∗(x)v.

Soit G un groupe abélien, et p un nombre premier. Le groupe quotient G/pG, muni de la loi de composition externe .: Z/pZ×G/pG → G/pG définie par ¯n.x= nx. où ¯n est la classe de n modp, est un Z/pZ-espace vectoriel, comme on le vérifie immédiatement.

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