(d) Est-ce queI est un id´eal premier ? (e) Est-ce queQ[x]/I est un corps ? 4

Universit´e de Versailles - Saint Quentin Ann´ee 2014/2015

L3 Alg`ebre Maria Chlouveraki

Derniers remarques sur les anneaux - TD 5

1. SiR est un anneau (commutatif) avec carR=p o`up est un nombre premier, alors (a+b)^p =a^p+b^p et (a−b)^p =a^p−b^p

pour tousa, b∈R.

2. Si R est un anneau int`egre avec carR =p o`u p est un nombre premier, alors l’application (de Frobenius) F :R →R, a7→a^p est un monomorphisme.

3. Soit I :={f(x)∈Q[x]|f(1) =f(−1) = 0}.

(a) Montrer que I est un id´eal de Q[x].

(b) Est-ce queI est principal ?

(c) Trouver p(x)∈Q[x] tel queI = (p(x)).

(d) Est-ce queI est un id´eal premier ? (e) Est-ce queQ[x]/I est un corps ?

4. Soit f(x) = a_nxⁿ+an−1xⁿ⁻¹ +· · ·+a₁x+a₀ ∈ Z[x] avec a_n 6= 0. S’il existe un nombre premierp tel que

(i) p divisea0, a1, . . . , an−1, (ii) p ne divise pasan, et (iii) p² ne divise pasa₀,

alorsf(x) est irr´eductible dansQ[x] (“crit`ere de Eisenstein”).

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