D´ eduction naturelle

D´ eduction naturelle

Comment d´efinir la notion depreuve de mani`ere : I compacte,

I non ambigu¨e,

I purement syntaxique.

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D´ eduction naturelle

Comment d´efinir la notion depreuve de mani`ere : I compacte,

I non ambigu¨e,

I purement syntaxique.

D´eduction naturelle

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D´ eduction naturelle

D´efinition 1 (S´equent)

Uns´equentest un couple not´e Γ`F o`u Γest un ensemble de formules et F une formule.

Γ:contextedu s´equent.

F :conclusion du s´equent.

S´equent : unit´e de base de lapreuve.

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Prouvabilit´ e

D´efinition 2

L’ensemble dess´equents prouvables est d´efini inductivement par :

Γ,F `F (ax)

Γ`F

Γ,G `F (aff) Γ,F `G

Γ`F ⇒G (⇒<sub>i</sub>) Γ`F ⇒G Γ`F

Γ`G (⇒<sub>e</sub>) Γ`F Γ`G

Γ`F ∧G (∧<sub>i</sub>) Γ`F ∧G

Γ`F (∧<sup>g</sup><sub>e</sub>) Γ`F ∧G Γ`G (∧<sup>d</sup><sub>e</sub>) Γ`F

Γ`F ∨G (∨<sup>g</sup><sub>i</sub> ) Γ`G

Γ`F ∨G (∨<sup>d</sup><sub>i</sub> ) Γ`F ∨G Γ,F `H Γ,G `H

Γ`H (∨_e)

Γ,F ` ⊥

Γ` ¬F (¬<sub>i</sub>) Γ` ¬F Γ`F

Γ` ⊥ (¬<sub>e</sub>) Γ,¬F ` ⊥ Γ`F (⊥_c)

Preuve: un arbre permettant d’obtenir un s´equent prouvable.

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Prouvabilit´ e

D´efinition 2

L’ensemble dess´equents prouvables est d´efini inductivement par :

Γ,F `F (ax) Γ`F

Γ,G `F (aff)

Γ,F `G

Γ`F ⇒G (⇒<sub>i</sub>) Γ`F ⇒G Γ`F

Γ`G (⇒<sub>e</sub>) Γ`F Γ`G

Γ`F ∧G (∧<sub>i</sub>) Γ`F ∧G

Γ`F (∧<sup>g</sup><sub>e</sub>) Γ`F ∧G Γ`G (∧<sup>d</sup><sub>e</sub>) Γ`F

Γ`F ∨G (∨<sup>g</sup><sub>i</sub> ) Γ`G

Γ`F ∨G (∨<sup>d</sup><sub>i</sub> ) Γ`F ∨G Γ,F `H Γ,G `H

Γ`H (∨_e)

Γ,F ` ⊥

Γ` ¬F (¬<sub>i</sub>) Γ` ¬F Γ`F

Γ` ⊥ (¬<sub>e</sub>) Γ,¬F ` ⊥ Γ`F (⊥_c)

Preuve: un arbre permettant d’obtenir un s´equent prouvable.

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Prouvabilit´ e

D´efinition 2

L’ensemble dess´equents prouvables est d´efini inductivement par :

Γ,F `F (ax) Γ`F

Γ,G `F (aff) Γ,F `G

Γ`F ⇒G (⇒_i)

Γ`F ⇒G Γ`F Γ`G (⇒<sub>e</sub>) Γ`F Γ`G

Γ`F ∧G (∧<sub>i</sub>) Γ`F ∧G

Γ`F (∧<sup>g</sup><sub>e</sub>) Γ`F ∧G Γ`G (∧<sup>d</sup><sub>e</sub>) Γ`F

Γ`F ∨G (∨<sup>g</sup><sub>i</sub> ) Γ`G

Γ`F ∨G (∨<sup>d</sup><sub>i</sub> ) Γ`F ∨G Γ,F `H Γ,G `H

Γ`H (∨_e)

Γ,F ` ⊥

Γ` ¬F (¬<sub>i</sub>) Γ` ¬F Γ`F

Γ` ⊥ (¬<sub>e</sub>) Γ,¬F ` ⊥ Γ`F (⊥_c)

Preuve: un arbre permettant d’obtenir un s´equent prouvable.

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Prouvabilit´ e

D´efinition 2

L’ensemble dess´equents prouvables est d´efini inductivement par :

Γ,F `F (ax) Γ`F

Γ,G `F (aff) Γ,F `G

Γ`F ⇒G (⇒<sub>i</sub>) Γ`F ⇒G Γ`F

Γ`G (⇒_e)

Γ`F Γ`G

Γ`F ∧G (∧<sub>i</sub>) Γ`F ∧G

Γ`F (∧<sup>g</sup><sub>e</sub>) Γ`F ∧G Γ`G (∧<sup>d</sup><sub>e</sub>) Γ`F

Γ`F ∨G (∨<sup>g</sup><sub>i</sub> ) Γ`G

Γ`F ∨G (∨<sup>d</sup><sub>i</sub> ) Γ`F ∨G Γ,F `H Γ,G `H

Γ`H (∨_e)

Γ,F ` ⊥

Γ` ¬F (¬<sub>i</sub>) Γ` ¬F Γ`F

Γ` ⊥ (¬<sub>e</sub>) Γ,¬F ` ⊥ Γ`F (⊥_c)

Preuve: un arbre permettant d’obtenir un s´equent prouvable.

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Prouvabilit´ e

D´efinition 2

L’ensemble dess´equents prouvables est d´efini inductivement par :

Γ,F `F (ax) Γ`F

Γ,G `F (aff) Γ,F `G

Γ`F ⇒G (⇒<sub>i</sub>) Γ`F ⇒G Γ`F

Γ`G (⇒<sub>e</sub>) Γ`F Γ`G

Γ`F ∧G (∧_i)

Γ`F ∧G

Γ`F (∧<sup>g</sup><sub>e</sub>) Γ`F ∧G Γ`G (∧<sup>d</sup><sub>e</sub>) Γ`F

Γ`F ∨G (∨<sup>g</sup><sub>i</sub> ) Γ`G

Γ`F ∨G (∨<sup>d</sup><sub>i</sub> ) Γ`F ∨G Γ,F `H Γ,G `H

Γ`H (∨_e)

Γ,F ` ⊥

Γ` ¬F (¬<sub>i</sub>) Γ` ¬F Γ`F

Γ` ⊥ (¬<sub>e</sub>) Γ,¬F ` ⊥ Γ`F (⊥_c)

Preuve: un arbre permettant d’obtenir un s´equent prouvable.

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Prouvabilit´ e

D´efinition 2

L’ensemble dess´equents prouvables est d´efini inductivement par :

Γ,F `F (ax) Γ`F

Γ,G `F (aff) Γ,F `G

Γ`F ⇒G (⇒<sub>i</sub>) Γ`F ⇒G Γ`F

Γ`G (⇒<sub>e</sub>) Γ`F Γ`G

Γ`F ∧G (∧<sub>i</sub>) Γ`F ∧G Γ`F (∧^g_e)

Γ`F ∧G Γ`G (∧^d_e) Γ`F

Γ`F ∨G (∨<sup>g</sup><sub>i</sub> ) Γ`G

Γ`F ∨G (∨<sup>d</sup><sub>i</sub> ) Γ`F ∨G Γ,F `H Γ,G `H

Γ`H (∨_e)

Γ,F ` ⊥

Γ` ¬F (¬<sub>i</sub>) Γ` ¬F Γ`F

Γ` ⊥ (¬<sub>e</sub>) Γ,¬F ` ⊥ Γ`F (⊥_c)

Preuve: un arbre permettant d’obtenir un s´equent prouvable.

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Prouvabilit´ e

D´efinition 2

L’ensemble dess´equents prouvables est d´efini inductivement par :

Γ,F `F (ax) Γ`F

Γ,G `F (aff) Γ,F `G

Γ`F ⇒G (⇒<sub>i</sub>) Γ`F ⇒G Γ`F

Γ`G (⇒<sub>e</sub>) Γ`F Γ`G

Γ`F ∧G (∧<sub>i</sub>) Γ`F ∧G

Γ`F (∧<sup>g</sup><sub>e</sub>) Γ`F ∧G Γ`G (∧^d_e)

Γ`F

Γ`F ∨G (∨<sup>g</sup><sub>i</sub> ) Γ`G

Γ`F ∨G (∨<sup>d</sup><sub>i</sub> ) Γ`F ∨G Γ,F `H Γ,G `H

Γ`H (∨_e)

Γ,F ` ⊥

Γ` ¬F (¬<sub>i</sub>) Γ` ¬F Γ`F

Γ` ⊥ (¬<sub>e</sub>) Γ,¬F ` ⊥ Γ`F (⊥_c)

Preuve: un arbre permettant d’obtenir un s´equent prouvable.

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Prouvabilit´ e

D´efinition 2

L’ensemble dess´equents prouvables est d´efini inductivement par :

Γ,F `F (ax) Γ`F

Γ,G `F (aff) Γ,F `G

Γ`F ⇒G (⇒<sub>i</sub>) Γ`F ⇒G Γ`F

Γ`G (⇒<sub>e</sub>) Γ`F Γ`G

Γ`F ∧G (∧<sub>i</sub>) Γ`F ∧G

Γ`F (∧<sup>g</sup><sub>e</sub>) Γ`F ∧G Γ`G (∧<sup>d</sup><sub>e</sub>) Γ`F

Γ`F ∨G (∨^g_i )

Γ`G

Γ`F ∨G (∨<sup>d</sup><sub>i</sub> ) Γ`F ∨G Γ,F `H Γ,G `H

Γ`H (∨_e)

Γ,F ` ⊥

Γ` ¬F (¬<sub>i</sub>) Γ` ¬F Γ`F

Γ` ⊥ (¬<sub>e</sub>) Γ,¬F ` ⊥ Γ`F (⊥_c)

Preuve: un arbre permettant d’obtenir un s´equent prouvable.

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Prouvabilit´ e

D´efinition 2

L’ensemble dess´equents prouvables est d´efini inductivement par :

Γ,F `F (ax) Γ`F

Γ,G `F (aff) Γ,F `G

Γ`F ⇒G (⇒<sub>i</sub>) Γ`F ⇒G Γ`F

Γ`G (⇒<sub>e</sub>) Γ`F Γ`G

Γ`F ∧G (∧<sub>i</sub>) Γ`F ∧G

Γ`F (∧<sup>g</sup><sub>e</sub>) Γ`F ∧G Γ`G (∧<sup>d</sup><sub>e</sub>) Γ`F

Γ`F ∨G (∨<sup>g</sup><sub>i</sub> ) Γ`G

Γ`F ∨G (∨^d_i )

Γ`F ∨G Γ,F `H Γ,G `H

Γ`H (∨_e)

Γ,F ` ⊥

Γ` ¬F (¬<sub>i</sub>) Γ` ¬F Γ`F

Γ` ⊥ (¬<sub>e</sub>) Γ,¬F ` ⊥ Γ`F (⊥_c)

Preuve: un arbre permettant d’obtenir un s´equent prouvable.

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Prouvabilit´ e

D´efinition 2

L’ensemble dess´equents prouvables est d´efini inductivement par :

Γ,F `F (ax) Γ`F

Γ,G `F (aff) Γ,F `G

Γ`F ⇒G (⇒<sub>i</sub>) Γ`F ⇒G Γ`F

Γ`G (⇒<sub>e</sub>) Γ`F Γ`G

Γ`F ∧G (∧<sub>i</sub>) Γ`F ∧G

Γ`F (∧<sup>g</sup><sub>e</sub>) Γ`F ∧G Γ`G (∧<sup>d</sup><sub>e</sub>) Γ`F

Γ`F ∨G (∨<sup>g</sup><sub>i</sub> ) Γ`G

Γ`F ∨G (∨<sup>d</sup><sub>i</sub> ) Γ`F ∨G Γ,F `H Γ,G `H

Γ`H (∨_e)

Γ,F ` ⊥

Γ` ¬F (¬<sub>i</sub>) Γ` ¬F Γ`F

Γ` ⊥ (¬<sub>e</sub>) Γ,¬F ` ⊥ Γ`F (⊥_c)

Preuve: un arbre permettant d’obtenir un s´equent prouvable.

36 / 46

Prouvabilit´ e

D´efinition 2

L’ensemble dess´equents prouvables est d´efini inductivement par :

Γ,F `F (ax) Γ`F

Γ,G `F (aff) Γ,F `G

Γ`F ⇒G (⇒<sub>i</sub>) Γ`F ⇒G Γ`F

Γ`G (⇒<sub>e</sub>) Γ`F Γ`G

Γ`F ∧G (∧<sub>i</sub>) Γ`F ∧G

Γ`F (∧<sup>g</sup><sub>e</sub>) Γ`F ∧G Γ`G (∧<sup>d</sup><sub>e</sub>) Γ`F

Γ`F ∨G (∨<sup>g</sup><sub>i</sub> ) Γ`G

Γ`F ∨G (∨<sup>d</sup><sub>i</sub> ) Γ`F ∨G Γ,F `H Γ,G `H

Γ`H (∨_e)

Γ,F ` ⊥ Γ` ¬F (¬_i)

Γ` ¬F Γ`F

Γ` ⊥ (¬<sub>e</sub>) Γ,¬F ` ⊥ Γ`F (⊥_c)

Preuve: un arbre permettant d’obtenir un s´equent prouvable.

36 / 46

Prouvabilit´ e

D´efinition 2

L’ensemble dess´equents prouvables est d´efini inductivement par :

Γ,F `F (ax) Γ`F

Γ,G `F (aff) Γ,F `G

Γ`F ⇒G (⇒<sub>i</sub>) Γ`F ⇒G Γ`F

Γ`G (⇒<sub>e</sub>) Γ`F Γ`G

Γ`F ∧G (∧<sub>i</sub>) Γ`F ∧G

Γ`F (∧<sup>g</sup><sub>e</sub>) Γ`F ∧G Γ`G (∧<sup>d</sup><sub>e</sub>) Γ`F

Γ`F ∨G (∨<sup>g</sup><sub>i</sub> ) Γ`G

Γ`F ∨G (∨<sup>d</sup><sub>i</sub> ) Γ`F ∨G Γ,F `H Γ,G `H

Γ`H (∨_e)

Γ,F ` ⊥

Γ` ¬F (¬<sub>i</sub>) Γ` ¬F Γ`F Γ` ⊥ (¬_e)

Γ,¬F ` ⊥ Γ`F (⊥_c)

Preuve: un arbre permettant d’obtenir un s´equent prouvable.

36 / 46

Prouvabilit´ e

D´efinition 2

L’ensemble dess´equents prouvables est d´efini inductivement par :

Γ,F `F (ax) Γ`F

Γ,G `F (aff) Γ,F `G

Γ`F ⇒G (⇒<sub>i</sub>) Γ`F ⇒G Γ`F

Γ`G (⇒<sub>e</sub>) Γ`F Γ`G

Γ`F ∧G (∧<sub>i</sub>) Γ`F ∧G

Γ`F (∧<sup>g</sup><sub>e</sub>) Γ`F ∧G Γ`G (∧<sup>d</sup><sub>e</sub>) Γ`F

Γ`F ∨G (∨<sup>g</sup><sub>i</sub> ) Γ`G

Γ`F ∨G (∨<sup>d</sup><sub>i</sub> ) Γ`F ∨G Γ,F `H Γ,G `H

Γ`H (∨_e)

Γ,F ` ⊥

Γ` ¬F (¬<sub>i</sub>) Γ` ¬F Γ`F

Γ` ⊥ (¬<sub>e</sub>) Γ,¬F ` ⊥ Γ`F (⊥_c) Preuve: un arbre permettant d’obtenir un s´equent prouvable.

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Premi` ere preuve

But : d´emontrer `p⇒(p ⇒q)⇒q

p,p ⇒q `p ⇒q

(ax)

p,p⇒q `p

(ax)

p,p⇒q `q

(⇒_e)

p`(p ⇒q)⇒q

(⇒_i)

`p ⇒(p ⇒q)⇒q

(⇒_i)

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Premi` ere preuve

But : d´emontrer `p⇒(p ⇒q)⇒q

p,p ⇒q `p ⇒q

(ax)

p,p⇒q `p

(ax)

p,p⇒q `q

(⇒_e)

p`(p ⇒q)⇒q

(⇒_i)

`p ⇒(p ⇒q)⇒q

(⇒_i)

37 / 46

Premi` ere preuve

But : d´emontrer `p⇒(p ⇒q)⇒q

p,p ⇒q `p ⇒q

(ax)

p,p⇒q `p

(ax)

p,p ⇒q `q

(⇒_e)

p`(p ⇒q)⇒q

(⇒_i)

`p ⇒(p ⇒q)⇒q (⇒_i)

37 / 46

Premi` ere preuve

But : d´emontrer `p⇒(p ⇒q)⇒q

p,p ⇒q `p ⇒q

(ax)

p,p⇒q `p

(ax)

p,p ⇒q `q

(⇒_e)

p`(p ⇒q)⇒q (⇒_i)

`p ⇒(p ⇒q)⇒q (⇒_i)

37 / 46

Premi` ere preuve

But : d´emontrer `p⇒(p ⇒q)⇒q

p,p ⇒q `p ⇒q

(ax)

p,p⇒q `p

(ax)

p,p ⇒q `q (⇒<sub>e</sub>) p`(p ⇒q)⇒q (⇒_i)

`p ⇒(p ⇒q)⇒q (⇒_i)

37 / 46

Premi` ere preuve

But : d´emontrer `p⇒(p ⇒q)⇒q

p,p ⇒q `p ⇒q (ax)

p,p⇒q `p

(ax)

p,p ⇒q `q (⇒<sub>e</sub>) p`(p ⇒q)⇒q (⇒_i)

`p ⇒(p ⇒q)⇒q (⇒_i)

37 / 46

Premi` ere preuve

But : d´emontrer `p⇒(p ⇒q)⇒q

p,p ⇒q `p ⇒q (ax)

p,p⇒q `p (ax) p,p ⇒q `q (⇒_e) p`(p ⇒q)⇒q (⇒_i)

`p ⇒(p ⇒q)⇒q (⇒_i)

37 / 46

R` egles d´ erivables

R`egle d´erivable: r`egle dont la conclusion peut-ˆetre d´eriv´ee des pr´emisses `a l’aide des r`egles de la d´eduction naturelle.

Γ`A

Γ,B,C `A (aff₂)

Γ`A

Γ,C `A

(aff)

Γ,B,C `A

(aff)

On peut d´esormais utiliser la r`egle (aff₂) dans les preuves

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R` egles d´ erivables

R`egle d´erivable: r`egle dont la conclusion peut-ˆetre d´eriv´ee des pr´emisses `a l’aide des r`egles de la d´eduction naturelle.

Γ`A

Γ,B,C `A (aff₂)

Γ`A

Γ,C `A

(aff)

Γ,B,C `A

(aff)

On peut d´esormais utiliser la r`egle (aff₂) dans les preuves

38 / 46

R` egles d´ erivables

R`egle d´erivable: r`egle dont la conclusion peut-ˆetre d´eriv´ee des pr´emisses `a l’aide des r`egles de la d´eduction naturelle.

Γ`A

Γ,B,C `A (aff₂)

Γ`A

Γ,C `A

(aff)

Γ,B,C `A

(aff)

On peut d´esormais utiliser la r`egle (aff₂) dans les preuves

38 / 46

R` egles d´ erivables

R`egle d´erivable: r`egle dont la conclusion peut-ˆetre d´eriv´ee des pr´emisses `a l’aide des r`egles de la d´eduction naturelle.

Γ`A

Γ,B,C `A (aff₂)

Γ`A

Γ,C `A

(aff)

Γ,B,C `A (aff)

On peut d´esormais utiliser la r`egle (aff₂) dans les preuves

38 / 46

R` egles d´ erivables

R`egle d´erivable: r`egle dont la conclusion peut-ˆetre d´eriv´ee des pr´emisses `a l’aide des r`egles de la d´eduction naturelle.

Γ`A

Γ,B,C `A (aff₂)

Γ`A

Γ,C `A (aff) Γ,B,C `A (aff)

On peut d´esormais utiliser la r`egle (aff₂) dans les preuves

38 / 46

R` egles d´ erivables

R`egle d´erivable: r`egle dont la conclusion peut-ˆetre d´eriv´ee des pr´emisses `a l’aide des r`egles de la d´eduction naturelle.

Γ`A

Γ,B,C `A (aff₂)

Γ`A

Γ,C `A (aff) Γ,B,C `A (aff)

On peut d´esormais utiliser la r`egle (aff₂) dans les preuves

38 / 46

Premi` ere grosse preuve et premi` ere r` egle d´ erivable

But : d´emontrer

Γ

`A∨ ¬A

Γ_G

,Γ

` ¬F

(ax) Γ_G

,Γ

` ¬A

(ax)

Γ_G

,Γ

`F

(∨^d_i)

Γ_G

,Γ

` ⊥

(¬_e)

¬F

,Γ

`A

(⊥_c)

Γ_D

,Γ

` ¬F

(ax) Γ_D

,Γ

`A

(ax)

Γ_D

,Γ

`F

(∨^g_i)

Γ_D

,Γ

` ⊥

(¬_e)

¬F

,Γ

` ¬A

(¬_i)

¬F

,Γ

` ⊥

(¬_e)

Γ

`F

(⊥_c)

F =A∨ ¬A Γ_G =¬F,¬A ΓD =¬F,A

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Premi` ere grosse preuve et premi` ere r` egle d´ erivable

But : d´emontrer

Γ

`A∨ ¬A

Γ_G

,Γ

` ¬F

(ax) Γ_G

,Γ

` ¬A

(ax)

Γ_G

,Γ

`F

(∨^d_i)

Γ_G

,Γ

` ⊥

(¬_e)

¬F

,Γ

`A

(⊥_c)

Γ_D

,Γ

` ¬F

(ax) Γ_D

,Γ

`A

(ax)

Γ_D

,Γ

`F

(∨^g_i)

Γ_D

,Γ

` ⊥

(¬_e)

¬F

,Γ

` ¬A

(¬_i)

¬F

,Γ

` ⊥

(¬_e)

Γ

`F

(⊥_c)

F =A∨ ¬A

Γ_G =¬F,¬A ΓD =¬F,A

39 / 46

Premi` ere grosse preuve et premi` ere r` egle d´ erivable

But : d´emontrer

Γ

`A∨ ¬A

Γ_G

,Γ

` ¬F

(ax) Γ_G

,Γ

` ¬A

(ax)

Γ_G

,Γ

`F

(∨^d_i)

Γ_G

,Γ

` ⊥

(¬_e)

¬F

,Γ

`A

(⊥_c)

Γ_D

,Γ

` ¬F

(ax) Γ_D

,Γ

`A

(ax)

Γ_D

,Γ

`F

(∨^g_i)

Γ_D

,Γ

` ⊥

(¬_e)

¬F

,Γ

` ¬A

(¬_i)

¬F

,Γ

` ⊥

(¬_e) Γ

`F (⊥_c)

F =A∨ ¬A

Γ_G =¬F,¬A ΓD =¬F,A

39 / 46

Premi` ere grosse preuve et premi` ere r` egle d´ erivable

But : d´emontrer

Γ

`A∨ ¬A

Γ_G

,Γ

` ¬F

(ax) Γ_G

,Γ

` ¬A

(ax)

Γ_G

,Γ

`F

(∨^d_i)

Γ_G

,Γ

` ⊥

(¬_e)

¬F

,Γ

`A

(⊥_c)

Γ_D

,Γ

` ¬F

(ax) Γ_D

,Γ

`A

(ax)

Γ_D

,Γ

`F

(∨^g_i)

Γ_D

,Γ

` ⊥

(¬_e)

¬F

,Γ

` ¬A

(¬_i)

¬F

,Γ

` ⊥ (¬_e)

Γ

`F (⊥_c)

F =A∨ ¬A

Γ_G =¬F,¬A ΓD =¬F,A

39 / 46

Premi` ere grosse preuve et premi` ere r` egle d´ erivable

But : d´emontrer

Γ

`A∨ ¬A

Γ_G

,Γ

` ¬F

(ax) Γ_G

,Γ

` ¬A

(ax)

Γ_G

,Γ

`F

(∨^d_i )

Γ_G

,Γ

` ⊥

(¬_e)

¬F

,Γ

`A (⊥_c)

Γ_D

,Γ

` ¬F

(ax) Γ_D

,Γ

`A

(ax)

Γ_D

,Γ

`F

(∨^g_i)

Γ_D

,Γ

` ⊥

(¬_e)

¬F

,Γ

` ¬A

(¬_i)

¬F

,Γ

` ⊥ (¬_e)

Γ

`F (⊥_c)

F =A∨ ¬A Γ_G =¬F,¬A

ΓD =¬F,A

39 / 46

Premi` ere grosse preuve et premi` ere r` egle d´ erivable

But : d´emontrer

Γ

`A∨ ¬A

Γ_G

,Γ

` ¬F

(ax) Γ_G

,Γ

` ¬A

(ax)

Γ_G

,Γ

`F

(∨^d_i )

Γ_G

,Γ

` ⊥ (¬_e)

¬F

,Γ

`A (⊥_c)

Γ_D

,Γ

` ¬F

(ax) Γ_D

,Γ

`A

(ax)

Γ_D

,Γ

`F

(∨^g_i)

Γ_D

,Γ

` ⊥

(¬_e)

¬F

,Γ

` ¬A

(¬_i)

¬F

,Γ

` ⊥ (¬_e)

Γ

`F (⊥_c)

F =A∨ ¬A Γ_G =¬F,¬A

ΓD =¬F,A

39 / 46

Premi` ere grosse preuve et premi` ere r` egle d´ erivable

But : d´emontrer

Γ

`A∨ ¬A

Γ_G

,Γ

` ¬F (ax)

Γ_G

,Γ

` ¬A

(ax)

Γ_G

,Γ

`F

(∨^d_i )

Γ_G

,Γ

` ⊥ (¬_e)

¬F

,Γ

`A (⊥_c)

Γ_D

,Γ

` ¬F

(ax) Γ_D

,Γ

`A

(ax)

Γ_D

,Γ

`F

(∨^g_i)

Γ_D

,Γ

` ⊥

(¬_e)

¬F

,Γ

` ¬A

(¬_i)

¬F

,Γ

` ⊥ (¬_e)

Γ

`F (⊥_c)

F =A∨ ¬A Γ_G =¬F,¬A

ΓD =¬F,A

39 / 46

Premi` ere grosse preuve et premi` ere r` egle d´ erivable

But : d´emontrer

Γ

`A∨ ¬A

Γ_G

,Γ

` ¬F (ax) Γ_G

,Γ

` ¬A

(ax)

Γ_G

,Γ

`F (∨^d_i ) Γ_G

,Γ

` ⊥ (¬_e)

¬F

,Γ

`A (⊥_c)

Γ_D

,Γ

` ¬F

(ax) Γ_D

,Γ

`A

(ax)

Γ_D

,Γ

`F

(∨^g_i)

Γ_D

,Γ

` ⊥

(¬_e)

¬F

,Γ

` ¬A

(¬_i)

¬F

,Γ

` ⊥ (¬_e)

Γ

`F (⊥_c)

F =A∨ ¬A Γ_G =¬F,¬A

ΓD =¬F,A

39 / 46

Premi` ere grosse preuve et premi` ere r` egle d´ erivable

But : d´emontrer

Γ

`A∨ ¬A

Γ_G

,Γ

` ¬F (ax) Γ_G

,Γ

` ¬A (ax) Γ_G

,Γ

`F (∨^d_i ) Γ_G

,Γ

` ⊥ (¬_e)

¬F

,Γ

`A (⊥_c)

Γ_D

,Γ

` ¬F

(ax) Γ_D

,Γ

`A

(ax)

Γ_D

,Γ

`F

(∨^g_i)

Γ_D

,Γ

` ⊥

(¬_e)

¬F

,Γ

` ¬A

(¬_i)

¬F

,Γ

` ⊥ (¬_e)

Γ

`F (⊥_c)

F =A∨ ¬A Γ_G =¬F,¬A

ΓD =¬F,A

39 / 46

Premi` ere grosse preuve et premi` ere r` egle d´ erivable

But : d´emontrer

Γ

`A∨ ¬A

Γ_G

,Γ

` ¬F (ax) Γ_G

,Γ

` ¬A (ax) Γ_G

,Γ

`F (∨^d_i ) Γ_G

,Γ

` ⊥ (¬_e)

¬F

,Γ

`A (⊥_c)

Γ_D

,Γ

` ¬F

(ax) Γ_D

,Γ

`A

(ax)

Γ_D

,Γ

`F

(∨^g_i)

Γ_D

,Γ

` ⊥

(¬_e)

¬F

,Γ

` ¬A (¬_i)

¬F

,Γ

` ⊥ (¬_e)

Γ

`F (⊥_c)

F =A∨ ¬A Γ_G =¬F,¬A ΓD =¬F,A

39 / 46

Premi` ere grosse preuve et premi` ere r` egle d´ erivable

But : d´emontrer

Γ

`A∨ ¬A

Γ_G

,Γ

` ¬F (ax) Γ_G

,Γ

` ¬A (ax) Γ_G

,Γ

`F (∨^d_i ) Γ_G

,Γ

` ⊥ (¬_e)

¬F

,Γ

`A (⊥_c)

Γ_D

,Γ

` ¬F

(ax) Γ_D

,Γ

`A

(ax)

Γ_D

,Γ

`F

(∨^g_i)

Γ_D

,Γ

` ⊥ (¬_e)

¬F

,Γ

` ¬A (¬_i)

¬F

,Γ

` ⊥ (¬_e)

Γ

`F (⊥_c)

F =A∨ ¬A Γ_G =¬F,¬A ΓD =¬F,A

39 / 46

Premi` ere grosse preuve et premi` ere r` egle d´ erivable

But : d´emontrer

Γ

`A∨ ¬A

Γ_G

,Γ

` ¬F (ax) Γ_G

,Γ

` ¬A (ax) Γ_G

,Γ

`F (∨^d_i ) Γ_G

,Γ

` ⊥ (¬_e)

¬F

,Γ

`A (⊥_c)

Γ_D

,Γ

` ¬F (ax)

Γ_D

,Γ

`A

(ax)

Γ_D

,Γ

`F

(∨^g_i)

Γ_D

,Γ

` ⊥ (¬_e)

¬F

,Γ

` ¬A (¬_i)

¬F

,Γ

` ⊥ (¬_e)

Γ

`F (⊥_c)

F =A∨ ¬A Γ_G =¬F,¬A ΓD =¬F,A

39 / 46

Premi` ere grosse preuve et premi` ere r` egle d´ erivable

But : d´emontrer

Γ

`A∨ ¬A

Γ_G

,Γ

` ¬F (ax) Γ_G

,Γ

` ¬A (ax) Γ_G

,Γ

`F (∨^d_i ) Γ_G

,Γ

` ⊥ (¬_e)

¬F

,Γ

`A (⊥_c)

Γ_D

,Γ

` ¬F (ax) Γ_D

,Γ

`A

(ax)

Γ_D

,Γ

`F (∨^g_i ) Γ_D

,Γ

` ⊥ (¬_e)

¬F

,Γ

` ¬A (¬_i)

¬F

,Γ

` ⊥ (¬_e)

Γ

`F (⊥_c)

F =A∨ ¬A Γ_G =¬F,¬A ΓD =¬F,A

39 / 46

Premi` ere grosse preuve et premi` ere r` egle d´ erivable

But : d´emontrer

Γ

`A∨ ¬A

Γ_G

,Γ

` ¬F (ax) Γ_G

,Γ

` ¬A (ax) Γ_G

,Γ

`F (∨^d_i ) Γ_G

,Γ

` ⊥ (¬_e)

¬F

,Γ

`A (⊥_c)

Γ_D

,Γ

` ¬F (ax) Γ_D

,Γ

`A (ax) Γ_D

,Γ

`F (∨^g_i ) Γ_D

,Γ

` ⊥ (¬_e)

¬F

,Γ

` ¬A (¬_i)

¬F

,Γ

` ⊥ (¬_e)

Γ

`F (⊥_c)

F =A∨ ¬A Γ_G =¬F,¬A ΓD =¬F,A

39 / 46

Premi` ere grosse preuve et premi` ere r` egle d´ erivable

But : d´emontrerΓ`A∨ ¬A

Γ_G,Γ` ¬F (ax) Γ<sub>G</sub>,Γ` ¬A (ax) Γ_G,Γ`F (∨<sup>d</sup><sub>i</sub> ) Γ<sub>G</sub>,Γ` ⊥ (¬_e)

¬F,Γ`A (⊥_c)

Γ_D,Γ` ¬F (ax) Γ<sub>D</sub>,Γ`A (ax) Γ_D,Γ`F (∨<sup>g</sup><sub>i</sub> ) Γ<sub>D</sub>,Γ` ⊥ (¬_e)

¬F,Γ` ¬A (¬_i)

¬F,Γ` ⊥ (¬<sub>e</sub>) Γ`F (⊥_c)

F =A∨ ¬A Γ_G =¬F,¬A ΓD =¬F,A

39 / 46

Tiers exclu

But : d´emontrer que A,Γ`B ¬A,Γ`B

Γ`B (t.e) est d´erivable

Γ`A∨ ¬A (cours)

Γ,A`B Γ,¬A`B

Γ`B (∨_e)

40 / 46

Tiers exclu

But : d´emontrer que A,Γ`B ¬A,Γ`B

Γ`B (t.e) est d´erivable

Γ`A∨ ¬A (cours)

Γ,A`B Γ,¬A`B

Γ`B (∨_e)

40 / 46

Prouvabilit´ e vs s´ emantique

Proposition 1 (Compl´etude)

SoientΓun ensemble fini de formules et F une formule.

Γ|=F si et seulement siΓ`F .

Preuve :

41 / 46

Prouvabilit´ e vs s´ emantique

Proposition 1 (Compl´etude)

SoientΓun ensemble fini de formules et F une formule.

Γ|=F si et seulement siΓ`F .

Preuve :

⇐: par induction sur la preuve de Γ`F.

41 / 46

Prouvabilit´ e vs s´ emantique

Proposition 1 (Compl´etude)

SoientΓun ensemble fini de formules et F une formule.

Γ|=F si et seulement siΓ`F .

Preuve :

⇐: par induction sur la preuve de Γ`F. Γ,A`A (ax)

: Γ,A|=A´evident

41 / 46

Prouvabilit´ e vs s´ emantique

Proposition 1 (Compl´etude)

SoientΓun ensemble fini de formules et F une formule.

Γ|=F si et seulement siΓ`F .

Preuve :

⇐: par induction sur la preuve de Γ`F. Γ`A

Γ,B`A (aff)

et Γ|=A: Γ,B |=A´evident

41 / 46

Prouvabilit´ e vs s´ emantique

Proposition 1 (Compl´etude)

SoientΓun ensemble fini de formules et F une formule.

Γ|=F si et seulement siΓ`F .

Preuve :

⇐: par induction sur la preuve de Γ`F. Γ,A`B

Γ`A⇒B (⇒_i)

et Γ,A|=B : Γ|=A⇒B d’apr`es Proposition??

41 / 46

Prouvabilit´ e vs s´ emantique

Proposition 1 (Compl´etude)

SoientΓun ensemble fini de formules et F une formule.

Γ|=F si et seulement siΓ`F .

Preuve :

⇐: par induction sur la preuve de Γ`F. Γ`A⇒B Γ`A

Γ`B (⇒_e)

et Γ|=A⇒B et Γ|=A: SoitI t.q. I |= Γ alors puisque Γ|=A,I |=A et puisque Γ|=A⇒B,I |=A⇒B et donc I |=B. Donc Γ|=B.

41 / 46

Prouvabilit´ e vs s´ emantique

Proposition 1 (Compl´etude)

SoientΓun ensemble fini de formules et F une formule.

Γ|=F si et seulement siΓ`F .

Preuve :

⇒: dur

cf exercice sur ma pagehttp://www.ensiie/~forest/MLO et d´emonstration en Coq `a la mˆeme adresse

41 / 46

R´ esolution

Autre m´ethode de d´emonstration formelle.

Utilis´ee surtout end´emonstration automatique.

Utilis´ee aussi pour r´efuterune formule (d´emontrer ¬F).

Uneseule vraie r`egle.

Ne travaille que sur lesFNC.

42 / 46

R´ esolution

Autre m´ethode de d´emonstration formelle.

Utilis´ee surtout end´emonstration automatique.

Utilis´ee aussi pour r´efuterune formule (d´emontrer ¬F).

Uneseule vraie r`egle.

Ne travaille que sur lesFNC.

42 / 46

R´ esolution

Autre m´ethode de d´emonstration formelle.

Utilis´ee surtout end´emonstration automatique.

Utilis´ee aussi pour r´efuterune formule (d´emontrer ¬F).

Uneseule vraie r`egle.

Ne travaille que sur lesFNC.

42 / 46

R´ esolution

Autre m´ethode de d´emonstration formelle.

Utilis´ee surtout end´emonstration automatique.

Utilis´ee aussi pour r´efuterune formule (d´emontrer ¬F).

Uneseule vraie r`egle.

Ne travaille que sur lesFNC.

42 / 46

R´ esolution

Autre m´ethode de d´emonstration formelle.

Utilis´ee surtout end´emonstration automatique.

Utilis´ee aussi pour r´efuterune formule (d´emontrer ¬F).

Uneseule vraie r`egle.

Ne travaille que sur lesFNC.

42 / 46

R´ esolution : d´ efinition

D´efinition 3

Uns´equent de r´esolutionΓ`<sub>r</sub> C est un coupleΓ, C o`u Γ est un ensemble fini de clauses et C une clause.

L’ensemble dess´equents prouvables de la r´esolution est d´efini inductivement comme suit :

C ∈Γ Γ`<sub>r</sub> C (ax<sub>r</sub>) Γ`_r p∨C Γ`_r ¬p∨D

Γ`_r C ∨D (Res)

Dans la r`egle(Res) on travaille modulo associativit´e,sym´etrie, idempotencede∨et F ∨ ⊥ ≡F .

Rq : La plupart des pr´esentations ne mentionnent que la r`egle (Res) et ne mentionnent pas explicitementΓ.

43 / 46

R´ esolution : d´ efinition

D´efinition 3

Uns´equent de r´esolutionΓ`<sub>r</sub> C est un coupleΓ, C o`u Γ est un ensemble fini de clauses et C une clause.

L’ensemble dess´equents prouvables de la r´esolution est d´efini inductivement comme suit :

C ∈Γ Γ`_r C (axr)

p∨C ¬p∨D C ∨D (Res)

Dans la r`egle(Res) on travaille modulo associativit´e,sym´etrie, idempotencede∨et F ∨ ⊥ ≡F .

Rq : La plupart des pr´esentations ne mentionnent que la r`egle (Res) et ne mentionnent pas explicitementΓ.

43 / 46

R´ esolution : correction et compl´ etude

Th´eor`eme 2

SoitΓun ensemble de clause et soit C une clause.

On a :Γ|=C ssi Γ`_r C .

Preuve.⇐ : par induction sur la preuve de Γ`<sub>r</sub> C Si Γ`_r C (ax)

, alors C ∈Γ et Γ|=C. Si

Γ`<sub>r</sub> p∨C Γ`_r ¬p∨D Γ`_r C ∨D (Res)

avec Γ|=p∨C et Γ|=¬p∨D.

SoitI t.q. I |= Γ :

1. Si I |=p alors, commeI |=¬p∨D, on aI |=D donc Γ|=C ∨D.

2. Si I |=¬p alors, commeI |=p∨C, on a I |=C donc Γ|=C ∨D.

44 / 46

R´ esolution : correction et compl´ etude

Th´eor`eme 2

SoitΓun ensemble de clause et soit C une clause.

On a :Γ|=C ssi Γ`_r C .

Preuve.⇐ : par induction sur la preuve de Γ`_r C

Si Γ`_r C (ax)

, alors C ∈Γ et Γ|=C. Si

Γ`<sub>r</sub> p∨C Γ`_r ¬p∨D Γ`_r C ∨D (Res)

avec Γ|=p∨C et Γ|=¬p∨D.

SoitI t.q. I |= Γ :

1. Si I |=p alors, commeI |=¬p∨D, on aI |=D donc Γ|=C ∨D.

2. Si I |=¬p alors, commeI |=p∨C, on a I |=C donc Γ|=C ∨D.

44 / 46

R´ esolution : correction et compl´ etude

Th´eor`eme 2

SoitΓun ensemble de clause et soit C une clause.

On a :Γ|=C ssi Γ`_r C .

Preuve.⇐ : par induction sur la preuve de Γ`<sub>r</sub> C Si Γ`_r C (ax)

, alors C ∈Γ et Γ|=C.

Si

Γ`<sub>r</sub> p∨C Γ`_r ¬p∨D Γ`_r C ∨D (Res)

avec Γ|=p∨C et Γ|=¬p∨D.

SoitI t.q. I |= Γ :

1. Si I |=p alors, commeI |=¬p∨D, on aI |=D donc Γ|=C ∨D.

2. Si I |=¬p alors, commeI |=p∨C, on a I |=C donc Γ|=C ∨D.

44 / 46

R´ esolution : correction et compl´ etude

Th´eor`eme 2

SoitΓun ensemble de clause et soit C une clause.

On a :Γ|=C ssi Γ`_r C .

Preuve.⇐ : par induction sur la preuve de Γ`<sub>r</sub> C Si Γ`_r C (ax)

, alors C ∈Γ et Γ|=C. Si

Γ`<sub>r</sub> p∨C Γ`_r ¬p∨D Γ`_r C ∨D (Res)

avec Γ|=p∨C et Γ|=¬p∨D.

SoitI t.q. I |= Γ :

1. Si I |=p alors, commeI |=¬p∨D, on aI |=D donc Γ|=C ∨D.

2. Si I |=¬p alors, commeI |=p∨C, on a I |=C donc Γ|=C ∨D.

44 / 46

R´ esolution : correction et compl´ etude

Th´eor`eme 2

SoitΓun ensemble de clause et soit C une clause.

On a :Γ|=C ssi Γ`_r C .

Preuve.⇐ : par induction sur la preuve de Γ`<sub>r</sub> C Si Γ`_r C (ax)

, alors C ∈Γ et Γ|=C. Si

Γ`<sub>r</sub> p∨C Γ`_r ¬p∨D Γ`_r C ∨D (Res)

avec Γ|=p∨C et Γ|=¬p∨D.

SoitI t.q. I |= Γ :

1. Si I |=p alors, commeI |=¬p∨D, on aI |=D donc Γ|=C ∨D.

2. Si I |=¬p alors, commeI |=p∨C, on a I |=C donc Γ|=C ∨D.

44 / 46

R´ esolution : correction et compl´ etude

Th´eor`eme 2

SoitΓun ensemble de clause et soit C une clause.

On a :Γ|=C ssi Γ`_r C .

Preuve.⇐ : par induction sur la preuve de Γ`<sub>r</sub> C Si Γ`_r C (ax)

, alors C ∈Γ et Γ|=C. Si

Γ`<sub>r</sub> p∨C Γ`_r ¬p∨D Γ`_r C ∨D (Res)

avec Γ|=p∨C et Γ|=¬p∨D.

SoitI t.q. I |= Γ :

1. Si I |=p alors, commeI |=¬p∨D, on aI |=D donc Γ|=C ∨D.

2. Si I |=¬p alors, commeI |=p∨C, on a I |=C donc Γ|=C ∨D.

44 / 46

R´ esolution : r´ efutation

Th´eor`eme 3

SiΓest un ensemble de clauses.

Γ`_r ⊥est prouvable ssi Γest contradictoire.

Preuve : Cons´equence directe du Thm 2

M´ethode pour d´emontrer que Γ|=F :

1. On remplace le probl`eme par Γ,¬F contradictoire. 2. On met toutesles formules de Γ,¬F enFNC.

→ On obtient Γ = ensemble des clauses correspondant `^c a Γ. 3. On prouve par r´esolution que Γ contradictoire.^c

45 / 46

R´ esolution : r´ efutation

Th´eor`eme 3

SiΓest un ensemble de clauses.

Γ`_r ⊥est prouvable ssi Γest contradictoire.

Preuve : Cons´equence directe du Thm 2

M´ethode pour d´emontrer que Γ|=F :

1. On remplace le probl`eme par Γ,¬F contradictoire. 2. On met toutesles formules de Γ,¬F enFNC.

→ On obtient Γ = ensemble des clauses correspondant `^c a Γ. 3. On prouve par r´esolution que Γ contradictoire.^c

45 / 46

R´ esolution : r´ efutation

Th´eor`eme 3

SiΓest un ensemble de clauses.

Γ`_r ⊥est prouvable ssi Γest contradictoire.

Preuve : Cons´equence directe du Thm 2

M´ethode pour d´emontrer que Γ|=F :

1. On remplace le probl`eme par Γ,¬F contradictoire. 2. On met toutesles formules de Γ,¬F enFNC.

→ On obtient Γ = ensemble des clauses correspondant `^c a Γ. 3. On prouve par r´esolution que Γ contradictoire.^c

45 / 46

R´ esolution : r´ efutation

Th´eor`eme 3

SiΓest un ensemble de clauses.

Γ`_r ⊥est prouvable ssi Γest contradictoire.

Preuve : Cons´equence directe du Thm 2

M´ethode pour d´emontrer que Γ|=F :

1. On remplace le probl`eme par Γ,¬F contradictoire.

2. On met toutesles formules de Γ,¬F enFNC.

→ On obtient Γ = ensemble des clauses correspondant `^c a Γ. 3. On prouve par r´esolution que Γ contradictoire.^c

45 / 46

R´ esolution : r´ efutation

Th´eor`eme 3

SiΓest un ensemble de clauses.

Γ`_r ⊥est prouvable ssi Γest contradictoire.

Preuve : Cons´equence directe du Thm 2

M´ethode pour d´emontrer que Γ|=F :

1. On remplace le probl`eme par Γ,¬F contradictoire.

2. On met toutesles formules de Γ,¬F enFNC.

→ On obtient Γ = ensemble des clauses correspondant `^c a Γ.

3. On prouve par r´esolution que Γ contradictoire.^c

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R´ esolution : r´ efutation

Th´eor`eme 3

SiΓest un ensemble de clauses.

Γ`_r ⊥est prouvable ssi Γest contradictoire.

Preuve : Cons´equence directe du Thm 2

M´ethode pour d´emontrer que Γ|=F :

1. On remplace le probl`eme par Γ,¬F contradictoire.

2. On met toutesles formules de Γ,¬F enFNC.

→ On obtient Γ = ensemble des clauses correspondant `^c a Γ.

3. On prouve par r´esolution que Γ contradictoire.^c

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R´ esolution : exemple jouet

On cherche `a montrer que |= (p ⇒q)⇒ ¬q ⇒ ¬p.

1. On montre {¬ (p ⇒q)⇒ ¬q ⇒ ¬p

}est contradictoire. 2. On montre que {(¬p∨q)∧p∧ ¬q} est contradictoire. 3. On montre par r´esolution :

¬p∨q ¬q

¬p (Res) p

⊥

(Res)

46 / 46

R´ esolution : exemple jouet

On cherche `a montrer que |= (p ⇒q)⇒ ¬q ⇒ ¬p.

1. On montre {¬ (p ⇒q)⇒ ¬q ⇒ ¬p

}est contradictoire.

2. On montre que {(¬p∨q)∧p∧ ¬q} est contradictoire. 3. On montre par r´esolution :

¬p∨q ¬q

¬p (Res) p

⊥

(Res)

46 / 46

R´ esolution : exemple jouet

On cherche `a montrer que |= (p ⇒q)⇒ ¬q ⇒ ¬p.

1. On montre {¬ (p ⇒q)⇒ ¬q ⇒ ¬p

}est contradictoire.

2. On montre que {(¬p∨q)∧p∧ ¬q} est contradictoire.

3. On montre par r´esolution :

¬p∨q ¬q

¬p (Res) p

⊥

(Res)

46 / 46

R´ esolution : exemple jouet

On cherche `a montrer que |= (p ⇒q)⇒ ¬q ⇒ ¬p.

1. On montre {¬ (p ⇒q)⇒ ¬q ⇒ ¬p

}est contradictoire.

2. On montre que {(¬p∨q)∧p∧ ¬q} est contradictoire.

3. On montre par r´esolution :

¬p∨q ¬q

¬p (Res) p

Γ`_r ⊥

⊥

(Res)

46 / 46

R´ esolution : exemple jouet

On cherche `a montrer que |= (p ⇒q)⇒ ¬q ⇒ ¬p.

1. On montre {¬ (p ⇒q)⇒ ¬q ⇒ ¬p

}est contradictoire.

2. On montre que {(¬p∨q)∧p∧ ¬q} est contradictoire.

3. On montre par r´esolution :

¬p∨q ¬q

¬p (Res) p

⊥ (Res)

46 / 46

R´ esolution : exemple jouet

On cherche `a montrer que |= (p ⇒q)⇒ ¬q ⇒ ¬p.

1. On montre {¬ (p ⇒q)⇒ ¬q ⇒ ¬p

}est contradictoire.

2. On montre que {(¬p∨q)∧p∧ ¬q} est contradictoire.

3. On montre par r´esolution :

¬p∨q ¬q

¬p (Res) p

⊥ (Res)

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R´ esolution : exemple jouet

On cherche `a montrer que |= (p ⇒q)⇒ ¬q ⇒ ¬p.

1. On montre {¬ (p ⇒q)⇒ ¬q ⇒ ¬p

}est contradictoire.

2. On montre que {(¬p∨q)∧p∧ ¬q} est contradictoire.

3. On montre par r´esolution :

¬p∨q ¬q

¬p (Res) p

⊥ (Res)

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