Pour tout entier n strictement positif, démontrer que la somme des parties entières par défaut des racines kième de n pour k = 2,3,…,n est égale à la somme des parties entières par défaut des
logarithmes de n en base k pout k = 2,3,..n. En d’autres termes : avec logkn qui est le logarithme de n en base k et [x] qui désigne la partie entière de x.
La partie entière de n1/k est le plus grand entier p tel que pk≤n ; la somme est donc le nombre de couples d’entiers (i, k) tels que ik≤n avec 2≤k≤n ; remarquons que 1≤i≤n, et que pour i=1, il y a n-1 valeurs de k possibles.
La partie entière de logkn est le plus grand entier q tel que qLogk<Logn, soit kq<n ; la somme est le nombre de couples (j, k) tels que kj≤n avec 2≤k≤n ; alors 1≤j≤n, et pour j=1, il y a n-1 valeurs de k possibles.
Par ailleurs, il y a autant de couples (i, k) tels que ik≤n, avec 2≤i≤n que de couples (j, k) tels que kj≤n, avec 2≤j≤n, ce qui prouve l’égalité proposée.
