D 268. Une bien curieuse greffe.

1 D 268. Une bien curieuse greffe.

Problème proposé par Dominique Roux

Soit un hendécagone régulier convexe ABCDEFGHIJK inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 1.

La médiatrice de la corde BC coupe la perpendiculaire en A au rayon OA en un point P.

Sur cette deuxième droite,on porte un point Q de l’autre côté de P par rapport à A tel que AQ = 2AC.

Calculer la surface du carré dont le côté est la "greffe" PQ.

Solution proposée par Michel Lafond.

Le côté du carré PQ est égal à AP + AQ = AP + 2 AC = ) 11

11 (2 sin 4 11) (3

tan





comme on le verra plus bas. La surface du carré est donc égale à 11.

Démonstration de ) 11

11 (2 sin 4 11) (3

tan





.

Prouvons d’abord que si n est un entier naturel positif et

1 2 

 n

a 

alors on a :

n n

k n n

n

k

n n C ka

ka S

2 ) 1 ( cos )

2 ( 2

1 ) 2

( sin )

1 (

1 1



 





 





On démontre (1) à partir des polynômes de Tchebychev T_n(x)cos(nArccos(x)) dont les racines sont



 



   



 



 1;3;5;...2 1

cos 2 k n

n k

Ainsi : T_2n1(x)0 a pour solutions 





   



 





 1;3;5;...4 1 )

1 2 (

cos 2 k n

n k

ou en utilisant les angles complémentaires : 



 



  



 





  k n

n

k 1;2;3;...

1 sin 2

;

0 

Mais les polynômes de Tchebychev vérifient la récurrence : )

( )

( 2 )

( _{2 2 1}

1

2 x xT x T x

T_n  _n  _n ce qui permet de vérifier facilement que : )

1(

2 x

T_n commence par 2²ⁿx²ⁿ⁺¹ et se termine par (1) ⁿ (2n+1) x.

Donc le polynôme x

x T_2n1( )

dont les racines sont : 



 



  



 





  k n

n

k 1;2;3;...

1 sin 2 

commence par 2²ⁿx²ⁿ et se termine par (1) ⁿ (2n+1), ce qui avec l’expression du produit des racines d’un polynôme en fonction de ses coefficients donne :

n n n

k

n n

k n ₂

1 2

2 1 ) 2 1 ( ) ( sin )

1

(





 c’est à dire la formule (1).

(2) se démontre de la même manière mais avec les polynômes de Tchebychev de seconde espèce : A

B

C

O

P Q

 / 11

R = 1

2 AC

2 ))

( cos ( sin

)) ( cos )

1 2 ((

) sin

2 (

x Arc

x Arc x n

U _n   .

Avec n = 5, (2) donne 32 cos (a) cos (2a) cos (3a) cos (4a) cos (5a) = 1 qu’on multiplie par tan (3a) pour obtenir : 32 sin (3a) cos (a) cos (2a) cos (4a) cos (5a) = tan (3a) (3)

On utilise ensuite autant de fois que nécessaire les formules sin (a) sin (b) =





2

1 ab  ab et sin (a) cos (b) =





2

1 ab  ab (4)

et les relations trigonométriques usuelles ainsi que sin (11 a) = 0.

(3) devient 16 [sin (4a) + sin (2a)] cos (2a) cos (4a) cos (5a) = tan (3a) puis : 8 [sin (6a) + sin (2a) + sin (4a)] cos (4a) cos (5a) = tan (3a) puis : 4 [sin (10a) + sin (6a) + sin (8a)] cos (5a) = tan (3a) puis : 2 [sin (a) + sin (3a) + sin (5a) – sin (4a) – sin (2a)] = tan (3a) d’où : tan (3a) + 4 sin (2a) = 2 [sin (a) + sin (3a) + sin (5a) – sin (4a) + sin (2a)] (6) Avec n = 5, (1) donne 32 sin (a) sin (2a) sin (3a) sin (4a) sin (5a) = 11 (7)

On réutilise (4) :

(7) devient : 16 [cos (a) – cos (3a)] sin (3a) sin (4a) sin (5a) = 11 puis : 8 [sin (4a) + sin (2a) – sin (6a)] sin (4a) sin (5a) = 11 puis : 4 [sin (2a) + sin (4a) – sin (6a)] [cos (a) – cos (9a)] = 11 puis : 2 [sin (a) + sin (3a) – sin (7a) + sin (5a) + sin (9a)] = 11 ou encore : 2 [sin (a) + sin (3a) – sin (4a) + sin (5a) + sin (2a)] = 11 (8)

Si on compare (6) et (8) on arrive bien à tan (3a) + 4 sin (2a) = 11.