D268. Une bien curieuse greffe
Louis ROGLIANO
Problème proposé par Dominique Roux
Soit un hendécagone régulier convexeABCDEF GHIJ K inscrit dans un cercle de centreOet de rayon1. La médiatrice de la cordeBCcoupe la perpendiculaire enAau rayonOAen un pointP. Sur cette deuxième droite, on porte un pointQde l’autre côté deP par rapport àAtel queAQ= 2AC. Calculer la surface du carré dont le côté est la ”greffe”P Q.
L’aire demandée est égale à : A= (tan3π11 + 4sin2π11)2
Ce qui équivaut à :Acos2 3π11 −(sin3π11 + 4sin2π11cos3π11)2 = 0
Après développement, linéarisation et utilisation de l’écriture complexe des sinus et cosinus, nous obtenons:
9 2−A
2−e−112iπ−e2iπ11 −e−114iπ−e4iπ11 +7
4e−116iπ−A
4e−116iπ+7
4e6iπ11 −A
4e6iπ11 −e−118iπ−e−10iπ11 −e8iπ11 −e10iπ11 = 0 En faisant apparaître deux suites géométriques d’exponentielles on obtient:
9 2− A
2 −(A 4 − 11
4 )(e−116iπ +e6iπ11 ) =
∑k=5
k=1
ek2iπ11 +
∑k=5
k=1
e−k2iπ11
Soit: 9 2 − A
2 −(A 4 − 11
4 )(e−116iπ +e6iπ11 ) = e2iπ11
1−e2iπ11 −eiπ11 e11iπ11 1−e2iπ11
+ e−112iπ
1−e−112iπ −e−11iπ e−11iπ11 1−e−112iπ
=−1
Soit: (11−A)(1
2− e−116iπ +e6iπ11 4 ) = 0
L’ aire demandée est doncA= 11.
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