D268 : Une bien curieuse greffe

D268 : Une bien curieuse greffe

Problème proposé par Dominique Roux

Soit un hendécagone régulier convexe ABCDEFGHIJK inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 1.La médiatrice de la corde BC coupe la perpendiculaire en A au rayon OA en un point P. Sur cette deuxième droite,on porte un point Q de l'autre côté de P par rapport à A tel que AQ = 2AC. Calculer la surface du carré dont le côté est la "greffe" PQ.

AP=tan(3π/11), AQ=4sin(2π/11) ; posons z=e^2πi/11, comme z¹⁰=1/z, 2i*sin(2π/11)=z-z¹⁰ et i*tan(3π/11)=(z³-1)/(z³+1), or

1+z+...+z¹⁰=0, donc -1=z³+z⁴ +z⁵+z⁹+z¹⁰+ z⁶+z⁷+z⁸+z¹²+z¹³=(1+z³)(z³ +z⁴ +z⁵+z⁹+z¹⁰), soit i*tan(3π/11)= -(z³-1)(z³ +z⁴ +z⁵+z⁹+z¹⁰)=-z-z²+z³+z⁴+z⁵-z⁶-z⁷-z⁸+z⁹+z¹⁰

i(tan(3π/11)+4sin(2π/11))= z-z²+z³+z⁴+z⁵-z⁶-z⁷-z⁸+z⁹-z¹⁰=X-Y avec X=z+z³+z⁴+z⁵+z⁹ (on remarque que les exposants sont les résidus quadratiques modulo 11), et

Y=z²+z⁶+z⁷+z⁸+z¹⁰, (somme des inverses des précédents) : nous avons donc 1+X+Y=0, soit X+Y=-1 ; en développant le produit XY, on obtient 25 termes dont 5 sont égaux à 1, les 20 autres formant deux fois la somme X+Y, donc XY=5-2=3.

X et Y sont racines de x²+x+3=0, soit (-1±i√11)/2, donc X-Y=±i√11, soit tan(3π/11)+4sin(2π/11)=√11 (puisque les deux termes sont positifs).

Il en résulte que PQ²=11.