En considérant l’applicationf :R−→R,x7−→x2, montrer que l’inclusion précédente n’est pas une égalité

Colle PCSI Semaine 12 _2013-2014

EXERCICE 1 :

On étudie l’équation algébrique (E) : xⁿ+an−1xⁿ⁻¹+. . .+a1x+a0= 0.

d’inconnuex, et dont les coefficientsai sont des entiers (pouri∈ {0,1, . . . , n−1}

Montrer que les solutions réelles de (E) sont entières ou irrationnelles.

EXERCICE 2 :

Soitf :E−→F une application.

1. SoitAune partie deE. Montrer queA⊆f⁻¹(f(A)).

2. En considérant l’applicationf :R−→R,x7−→x², montrer que l’inclusion précédente n’est pas une égalité.

3. SoitB une partie deF. Montrer quef(f⁻¹(B))⊆B.

4. En considérant l’applicationf :R−→R,x7−→x², montrer que l’inclusion précédente n’est pas une égalité.

EXERCICE 3 :

Soitf :E−→F une application. Montrer que :

⊲ f est injective⇔ ∀A partie deE,A=f⁻¹(f(A)).

⊲ f est surjective ⇔ ∀B partie deE,f⁻¹(f(B)) =B.

EXERCICE 4 :

SoitE, F et Gtrois ensembles,f1, f2:E−→F et g:F −→G.

On suppose quegof1=gof2et que gest injective. Montrer quef1=f2.

EXERCICE 5 :

SoitE etF deux ensembles etf :E−→F.

Montrer quef est injective si, et seulement si,∀A, A^′ ∈ P(E),f(A∩A^′) =f(A)∩f(A^′).

EXERCICE 6 :

My Maths Space 1 sur 1